Considere a seguinte EDO:
\frac{d y}{d x}=3 y+5 x^{2}+4
Encontre a equação da reta normal à solução dessa EDO que passa no ponto \mathrm{P}=(4,1)
Coloque sua resposta aqui: y= \square x+ \square

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\frac{dy}{dx}=3y+5x^{2}+4
e pede a reta normal à solução dessa EDO que passe por P=(4,1). Para traçar essa reta, precisamos do coeficiente angular da tangente à solução em P (vindo da EDO) e então usar o coeficiente angular da normal, que é o negativo do inverso desse valor.

Passo 2

Calculamos o coeficiente angular da tangente em P usando a ODE:
m_{\text{tan}}=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(4,1)} =3\cdot 1 +5\cdot 4^{2}+4 =3+5\cdot 16+4 =3+80+4 =87.

Passo 3

O coeficiente angular da reta normal é
m_{\text{nor}}=-\frac{1}{m_{\text{tan}}} =-\frac{1}{87}.

Passo 4

Usamos a fórmula ponto-declive para a reta normal em P=(4,1):
y-1 = -\frac{1}{87}\,(x-4).
Isolando em forma y = mx+b:
y = -\frac{1}{87}\,x + \frac{4}{87} + 1 = -\frac{1}{87}\,x + \frac{91}{87}.

Resposta

y = -\frac{1}{87}\,x + \frac{91}{87}

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