1. Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300^{\circ} \mathrm{F}. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200^{\circ} \mathrm{F}. Quanto tempo levará para a sua temperatura chega a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que foi colocado for de exatamente 70^{\circ} \mathrm{F} ?

Passo 1

O enunciado descreve um bolo que sai do forno a 300^\circ\mathrm{F} e, após 3 minutos, está a 200^\circ\mathrm{F}. A temperatura ambiente é 70^\circ\mathrm{F}. O conteúdo que vamos usar é a Lei do Resfriamento de Newton, segundo a qual
T(t)=T_{\text{amb}}+\bigl(T(0)-T_{\text{amb}}\bigr)e^{-k\,t},
onde k>0 é a constante de resfriamento e T_{\text{amb}}=70^\circ\mathrm{F}.

Passo 2

Escrevemos o modelo com os dados:
T(0)=300=\;70+(300-70)e^{-k\cdot 0} \quad\Longrightarrow\quad T(t)=70+230\,e^{-k\,t}.

Passo 3

Usamos o ponto \bigl(t=3,\;T(3)=200\bigr) para achar k:
200=70+230\,e^{-3k} \;\Longrightarrow\; 130=230\,e^{-3k} \;\Longrightarrow\; e^{-3k}=\frac{13}{23} \;\Longrightarrow\; k=-\frac{1}{3}\ln\!\Bigl(\frac{13}{23}\Bigr) =\frac{1}{3}\ln\!\Bigl(\frac{23}{13}\Bigr).

Passo 4

Queremos t tal que T(t)=70:
70=70+230\,e^{-k\,t} \;\Longrightarrow\; 230\,e^{-k\,t}=0 \;\Longrightarrow\; e^{-k\,t}=0.
Como e^{-k\,t} nunca é zero para t<\infty, essa igualdade só se atinge quando t\to\infty.

Resposta

A temperatura do bolo só chega exatamente a 70^\circ\mathrm{F} no limite t\to\infty; isto é, leva tempo infinito para igualar-se à temperatura ambiente.

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