Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
10 x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}=3 x
que possui uma solução dada por : y_{1}=x^{\frac{8}{10}}.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 2) Encontre a solução geral da parte homogênea dessa EDO, da forma y=k_{1} x^{\frac{8}{10}}+k_{2} y_{2} e a avalie para x=4, k_{1}=-2, k_{2}=2.
Escreva sua resposta aqui: y=

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
10x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2\frac{dy}{dx}=3x
e informa que uma solução da equação é \displaystyle y_{1}=x^{\frac{8}{10}}. A Questão 2 pede:
  • encontrar a solução geral da parte homogênea na forma \displaystyle y=k_{1}x^{\frac{8}{10}}+k_{2}y_{2};
  • avaliar essa solução para \displaystyle x=4,\;k_{1}=-2,\;k_{2}=2.
    As informações relevantes: a equação homogênea é obtida anulando o termo não homogêneo (lado direito), e já temos uma solução conhecida \displaystyle y_{1}=x^{\frac{8}{10}}.

Passo 2

Escrevemos a equação homogênea associada (colocando o termo não homogêneo igual a zero):
10x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2\frac{dy}{dx}=0.
Para reduzir a ordem, definimos \displaystyle p(x)=\frac{dy}{dx}. Então \displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dp}{dx}. Substituindo na homogênea obtemos uma equação de primeira ordem para p:
10x\frac{dp}{dx}+2p=0.

Passo 3

Reescrevemos a equação para p em forma padrão:
\frac{dp}{dx}+\frac{1}{5x}p=0.
Esta é uma equação linear de primeira ordem e também é separável. Podemos resolver por separação de variáveis:
\frac{dp}{p}=-\frac{1}{5}\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\ln|p|=-\frac{1}{5}\ln|x|+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Exponenciando,
p(x)=C_{2}x^{-\frac{1}{5}},
onde C_{2}=e^{C_{1}} é uma constante arbitrária.

Passo 4

Lembrando que p=\dfrac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx}=C_{2}x^{-\frac{1}{5}}.
Integramos em x usando a regra da potencia: \displaystyle\int x^{\alpha}dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} para \alpha\neq-1. Aqui \alpha=-\tfrac{1}{5}, então
y=C_{2}\int x^{-\frac{1}{5}}dx+C_{3} = C_{2}\cdot\frac{x^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}+C_{3} = C_{2}\cdot\frac{5}{4}x^{\frac{4}{5}}+C_{3},
onde C_{3} é outra constante de integração.

Passo 5

Observando que \displaystyle x^{\frac{4}{5}}=x^{\frac{8}{10}} (ou seja, a solução dada \displaystyle y_{1}=x^{\frac{8}{10}} é o mesmo monômio), podemos reescrever a solução geral homogênea como combinação linear de duas soluções independentes. Tomando constantes k_{1} e k_{2} adequadas, uma base de soluções é \displaystyle x^{\frac{8}{10}} e \displaystyle 1. Logo a solução geral da homogênea é
y=k_{1}x^{\frac{8}{10}}+k_{2}.
Agora substituímos os valores pedidos: \displaystyle k_{1}=-2, \displaystyle k_{2}=2 e \displaystyle x=4. Portanto
y=-2\cdot 4^{\frac{8}{10}}+2.

Resposta

y=-2\cdot 4^{\frac{8}{10}}+2

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