Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
que possui uma solução dada por :
.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 2) Encontre a solução geral da parte homogênea dessa EDO, da forma
e a avalie para
,
.
Escreva sua resposta aqui:
□
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 2) Encontre a solução geral da parte homogênea dessa EDO, da forma
Escreva sua resposta aqui:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e informa que uma solução da equação é
. A Questão 2 pede:
- encontrar a solução geral da parte homogênea na forma
; - avaliar essa solução para
.
As informações relevantes: a equação homogênea é obtida anulando o termo não homogêneo (lado direito), e já temos uma solução conhecida.
Passo 2
Escrevemos a equação homogênea associada (colocando o termo não homogêneo igual a zero):
Para reduzir a ordem, definimos
. Então
. Substituindo na homogênea obtemos uma equação de primeira ordem para
:
Passo 3
Reescrevemos a equação para
em forma padrão:
Esta é uma equação linear de primeira ordem e também é separável. Podemos resolver por separação de variáveis:
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 4
Lembrando que
, temos
Integramos em
usando a regra da potencia:
para
. Aqui
, então
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Observando que
(ou seja, a solução dada
é o mesmo monômio), podemos reescrever a solução geral homogênea como combinação linear de duas soluções independentes. Tomando constantes
e
adequadas, uma base de soluções é
e
. Logo a solução geral da homogênea é
Agora substituímos os valores pedidos:
,
e
. Portanto