Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
10 x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}=3 x
que possui uma solução dada por : y_{1}=x^{\frac{8}{10}}.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 3) Calcule a solução particular da forma:
y_{p}=x^{\frac{8}{10}} u_{1}+y_{2} u_{2}
e avalie no ponto x=2.
Escreva sua solução aqui: y_{p}(2)=

Passo 1

O enunciado dá a EDO
10 x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \frac{dy}{dx} = 3x,
e informa uma solução da homogênea: \;y_{1}=x^{\frac{8}{10}}=x^{\frac{4}{5}}.
A tarefa é encontrar a solução particular assumindo a forma
y_{p}=x^{\frac{8}{10}} u_{1}+y_{2} u_{2}
(equivalente a \;y_{p}=y_{1}u_{1}+y_{2}u_{2}) e então avaliar y_{p} no ponto x=2, ou seja calcular \;y_{p}(2).
As informações relevantes são: a equação (acima) e a solução conhecida \;y_{1}=x^{4/5}. Nada mais foi pedido.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão \;y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x) dividindo por 10x:
y''+\frac{2}{10x}y'=\frac{3x}{10x}=\frac{3}{10}.
Portanto
P(x)=\frac{1}{5x},\qquad Q(x)=0,\qquad R(x)=\frac{3}{10}.
Isso é útil para aplicar redução de ordem (para obter y_{2}) e depois variação de parâmetros.

Passo 3

Vamos achar a segunda solução independente y_{2} da homogênea usando redução de ordem. A fórmula prática é
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Calculamos primeiro \int P(x)\,dx=\int \frac{1}{5x}\,dx=\frac{1}{5}\ln x, então
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-\frac{1}{5}\ln x}=x^{-\frac{1}{5}}.
Agora y_{1}=x^{\frac{4}{5}} então y_{1}^{2}=x^{\frac{8}{5}}. O integrando fica
\frac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{5}}}{x^{\frac{8}{5}}}=x^{-\frac{9}{5}}.
Integramos:
\int x^{-\frac{9}{5}}\,dx=\frac{x^{-\frac{9}{5}+1}}{-\frac{9}{5}+1}=\frac{x^{-\frac{4}{5}}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{5}{4}x^{-\frac{4}{5}}.
Multiplicando por y_{1}:
y_{2}=y_{1}\cdot\left(-\frac{5}{4}x^{-\frac{4}{5}}\right)=x^{\frac{4}{5}}\left(-\frac{5}{4}x^{-\frac{4}{5}}\right)=-\frac{5}{4}.
Podemos escolher uma constante multiplicativa conveniente; então tomamos como segunda solução independente a função constante
y_{2}=1.
(Observação rápida: testar y=1 na homogênea dá y'=y''=0, que satisfaz a equação homogênea.)

Passo 4

Agora aplicamos variação de parâmetros com a forma
y_{p}=y_{1}u_{1}+y_{2}u_{2},
onde impomos as duas condições padrão para simplificar:
y_{1}u_{1}'+y_{2}u_{2}'=0
e
y_{1}'u_{1}'+y_{2}'u_{2}'=R(x)=\frac{3}{10}.
Essas condições são escolhidas para que as segundas derivadas simplifiquem e possamos resolver para u_{1}' e u_{2}'.

Passo 5

Substituímos os valores conhecidos:
y_{1}=x^{\frac{4}{5}},\qquad y_{1}'=\frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}},\qquad y_{2}=1,\qquad y_{2}'=0.
O sistema para u_{1}',u_{2}' fica
x^{\frac{4}{5}}u_{1}'+1\cdot u_{2}'=0,
\frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}u_{1}'+0\cdot u_{2}'=\frac{3}{10}.
Da segunda equação isolamos u_{1}':
u_{1}'=\frac{3}{10}\cdot\frac{5}{4}x^{\frac{1}{5}}=\frac{3}{8}x^{\frac{1}{5}}.
Usando isso na primeira equação:
u_{2}'=-x^{\frac{4}{5}}u_{1}'=-x^{\frac{4}{5}}\cdot\frac{3}{8}x^{\frac{1}{5}}=-\frac{3}{8}x.

Passo 6

Integramos para obter u_{1} e u_{2} (podemos escolher constantes de integração zero porque queremos uma particular):
u_{1}=\int \frac{3}{8}x^{\frac{1}{5}}\,dx=\frac{3}{8}\cdot\frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}}=\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}}=\frac{5}{16}x^{\frac{6}{5}}.
u_{2}=\int -\frac{3}{8}x\,dx=-\frac{3}{8}\cdot\frac{x^{2}}{2}=-\frac{3}{16}x^{2}.

Passo 7

Montamos y_{p}=y_{1}u_{1}+y_{2}u_{2}:
y_{p}=x^{\frac{4}{5}}\cdot\frac{5}{16}x^{\frac{6}{5}}+1\cdot\left(-\frac{3}{16}x^{2}\right).
Simplificando o primeiro termo: x^{\frac{4}{5}+\frac{6}{5}}=x^{2}. Então
y_{p}=\frac{5}{16}x^{2}-\frac{3}{16}x^{2}=\frac{2}{16}x^{2}=\frac{1}{8}x^{2}.
(Verificação rápida: y_{p}''=\tfrac{1}{4} e y_{p}'=\tfrac{1}{4}x; substituindo em 10x y''+2y' 10x\cdot\tfrac{1}{4}+2\cdot\tfrac{1}{4}x=3x, que confere.)

Passo 8

Finalmente avaliamos em x=2:
y_{p}(2)=\frac{1}{8}\cdot 2^{2}=\frac{1}{8}\cdot 4=\frac{1}{2}.

Resposta

\;y_{p}(2)=\frac{1}{2}

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