Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
que possui uma solução dada por :
.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 3) Calcule a solução particular da forma:
e avalie no ponto
.
Escreva sua solução aqui:
□
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 3) Calcule a solução particular da forma:
Escreva sua solução aqui:
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e informa uma solução da homogênea:
.
A tarefa é encontrar a solução particular assumindo a forma
A tarefa é encontrar a solução particular assumindo a forma
(equivalente a
) e então avaliar
no ponto
, ou seja calcular
.
As informações relevantes são: a equação (acima) e a solução conhecida . Nada mais foi pedido.
As informações relevantes são: a equação (acima) e a solução conhecida
Passo 2
Colocamos a EDO na forma padrão
dividindo por
:
Portanto
Isso é útil para aplicar redução de ordem (para obter
) e depois variação de parâmetros.
Passo 3
Vamos achar a segunda solução independente
da homogênea usando redução de ordem. A fórmula prática é
Calculamos primeiro
, então
Agora
então
. O integrando fica
Integramos:
Multiplicando por
:
Podemos escolher uma constante multiplicativa conveniente; então tomamos como segunda solução independente a função constante
(Observação rápida: testar
na homogênea dá
, que satisfaz a equação homogênea.)
Passo 4
Agora aplicamos variação de parâmetros com a forma
onde impomos as duas condições padrão para simplificar:
e
Essas condições são escolhidas para que as segundas derivadas simplifiquem e possamos resolver para
e
.
Passo 5
Substituímos os valores conhecidos:
O sistema para
fica
Da segunda equação isolamos
:
Usando isso na primeira equação:
Passo 6
Integramos para obter
e
(podemos escolher constantes de integração zero porque queremos uma particular):
Passo 7
Montamos
:
Simplificando o primeiro termo:
. Então
(Verificação rápida:
e
; substituindo em
dá
, que confere.)
Passo 8
Finalmente avaliamos em
: