Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS da forma:
6 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+10 x \frac{d y}{d x}-32 y=0,
que possui uma solução da forma: y_{1}=-5 x^{2}.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 2) Encontre a solução geral dessa EDO, da forma y=k_{1} y_{1}+k_{2} y_{2} e a avalie para x=1, k_{1}=-2, k_{2}=2.
Escreva sua resposta aqui: y=

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial e pede duas coisas. Informações fornecidas:
6 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+10 x \frac{d y}{d x}-32 y=0,
e uma solução conhecida:
y_{1}=-5 x^{2}.
Perguntas que devemos responder:
  1. Encontrar a solução geral da EDO na forma y=k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}, isto é, obter uma segunda solução linearmente independente y_{2} e escrever a solução geral.
  2. Avaliar essa solução geral em x=1 com k_{1}=-2 e k_{2}=2.
Observação importante (informação do enunciado): a equação tem termos com x no denominador quando colocada em forma padrão, logo devemos tomar x\neq0. Para facilitar integrações usarei x>0 (assim posso tratar |x|=x); a solução válida para x<0 é análoga com sinais de log apropriados.

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão \displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0. Dividindo a equação original por 6x^{2} (válido para x\neq0) obtemos:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{10x}{6x^{2}}\frac{dy}{dx}-\frac{32}{6x^{2}}y=0.
Simplificando os coeficientes:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{5}{3}\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{16}{3}\frac{1}{x^{2}}y=0.
Portanto, no padrão:
p(x)=\frac{5}{3}\,\frac{1}{x},\qquad q(x)=-\frac{16}{3}\,\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Explicação didática do método: redução de ordem (quando já conhecemos uma solução y_{1}).
  • Ideia: suponha uma segunda solução da forma y=v(x)y_{1}(x). Substituindo na EDO e usando que y_{1} satisfaz a equação, reduzimos a ordem, obtendo uma equação de primeira ordem para v'.
  • Resultado padrão (que vamos justificar rapidamente): a segunda solução pode ser tomada como
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Aqui p(x) é o coeficiente de \frac{dy}{dx} na forma padrão, y_{1} é a solução conhecida, e a integral dá uma função que fornece v(x). Vou mostrar brevemente de onde vem: se y=v y_{1}, então ao substituir e simplificar (cancelando termos com v porque y_{1} satisfaz a EDO) chegamos a
w'+\bigl(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+p\bigr)w=0,\quad\text{onde }w=v'.
Essa é uma equação linear de 1ª ordem em w cuja solução é
w=C\frac{e^{-\int p\,dx}}{y_{1}^{2}},
depois integra-se w para obter v e multiplica-se por y_{1} para obter y_{2}. Por isso a fórmula acima.

Passo 4

Aplicar a fórmula com nossos p(x) e y_{1}. Primeiro calculemos \int p(x)\,dx:
p(x)=\frac{5}{3}\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad \int p(x)\,dx=\frac{5}{3}\int\frac{1}{x}\,dx=\frac{5}{3}\ln|x|.
Escolhendo x>0 (para evitar escrever |x| em todos os passos), temos
e^{-\int p\,dx}=e^{-(5/3)\ln x}=x^{-5/3}.

Passo 5

Calcule y_{1}^{2}. Como y_{1}=-5x^{2},
y_{1}^{2}=(-5x^{2})^{2}=25x^{4}.
Agora formamos o integrando da fórmula:
\frac{e^{-\int p\,dx}}{y_{1}^{2}}=\frac{x^{-5/3}}{25x^{4}}=\frac{1}{25}x^{-5/3-4}=\frac{1}{25}x^{-17/3}.

Passo 6

Integrar o integrando encontrado:
\int \frac{1}{25}x^{-17/3}\,dx=\frac{1}{25}\int x^{-17/3}\,dx.
Usamos a regra de potências: \int x^{\alpha}\,dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} para \alpha\neq-1. Aqui \alpha=-\tfrac{17}{3}, então
\alpha+1=-\frac{17}{3}+1=-\frac{14}{3}.
Portanto,
\frac{1}{25}\cdot\frac{x^{-14/3}}{-14/3}=\frac{1}{25}\cdot\left(-\frac{3}{14}\right)x^{-14/3}=-\frac{3}{350}x^{-14/3}+C.

Passo 7

Agora multiplicamos pelo y_{1} para obter y_{2}:
y_{2}=y_{1}\left(-\frac{3}{350}x^{-14/3}+C\right).
Podemos separar a constante de integração: o termo com C gera uma constante multiplicativa de y_{1} (ou seja, apenas reescala y_{1}), o que não produz uma solução nova linearmente independente. Tomamos então a parte não proporcional a y_{1}:
y_{2}=y_{1}\left(-\frac{3}{350}x^{-14/3}\right)=(-5x^{2})\left(-\frac{3}{350}x^{-14/3}\right).
Fazendo as contas de potências e coeficientes:
(-5)\cdot\left(-\frac{3}{350}\right)=\frac{15}{350}=\frac{3}{70},
e
x^{2}\cdot x^{-14/3}=x^{2-14/3}=x^{6/3-14/3}=x^{-8/3}.
Logo uma escolha conveniente é
y_{2}=\frac{3}{70}x^{-8/3}.
Como qualquer múltiplo não-nulo de y_{2} também é uma segunda solução, por simplicidade podemos escolher a forma escalada
y_{2}=x^{-8/3},
que é mais simples e linearmente independente de y_{1}=-5x^{2}.

Passo 8

Escrever a solução geral. Como é uma EDO linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes:
y=k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}=k_{1}(-5x^{2})+k_{2}x^{-8/3},
onde k_{1} e k_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 9

Avaliar a solução geral em x=1 com k_{1}=-2 e k_{2}=2. Substituindo:
y(1)=(-2)\bigl(-5\cdot 1^{2}\bigr)+2\cdot 1^{-8/3}.
Calcule passo a passo:
-2\cdot(-5\cdot 1)=10,\qquad 1^{-8/3}=1,
logo
y(1)=10+2=12.

Resposta

y=k_{1}(-5x^{2})+k_{2}x^{-8/3}
y(1)=12

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