Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS da forma:
que possui uma solução da forma:
.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 2) Encontre a solução geral dessa EDO, da forma
e a avalie para
.
Escreva sua resposta aqui:
□
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 2) Encontre a solução geral dessa EDO, da forma
Escreva sua resposta aqui:
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial e pede duas coisas. Informações fornecidas:
e uma solução conhecida:
Perguntas que devemos responder:
- Encontrar a solução geral da EDO na forma
, isto é, obter uma segunda solução linearmente independente e escrever a solução geral. - Avaliar essa solução geral em
com e .
Observação importante (informação do enunciado): a equação tem termos com
no denominador quando colocada em forma padrão, logo devemos tomar
. Para facilitar integrações usarei
(assim posso tratar
); a solução válida para
é análoga com sinais de log apropriados.
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão
. Dividindo a equação original por
(válido para
) obtemos:
Simplificando os coeficientes:
Portanto, no padrão:
Passo 3
Explicação didática do método: redução de ordem (quando já conhecemos uma solução
).
- Ideia: suponha uma segunda solução da forma
. Substituindo na EDO e usando que satisfaz a equação, reduzimos a ordem, obtendo uma equação de primeira ordem para . - Resultado padrão (que vamos justificar rapidamente): a segunda solução pode ser tomada como
Aqui
é o coeficiente de
na forma padrão,
é a solução conhecida, e a integral dá uma função que fornece
. Vou mostrar brevemente de onde vem: se
, então ao substituir e simplificar (cancelando termos com
porque
satisfaz a EDO) chegamos a
Essa é uma equação linear de 1ª ordem em
cuja solução é
depois integra-se
para obter
e multiplica-se por
para obter
. Por isso a fórmula acima.
Passo 4
Aplicar a fórmula com nossos
e
. Primeiro calculemos
:
Escolhendo
(para evitar escrever
em todos os passos), temos
Passo 5
Calcule
. Como
,
Agora formamos o integrando da fórmula:
Passo 6
Integrar o integrando encontrado:
Usamos a regra de potências:
para
. Aqui
, então
Portanto,
Passo 7
Agora multiplicamos pelo
para obter
:
Podemos separar a constante de integração: o termo com
gera uma constante multiplicativa de
(ou seja, apenas reescala
), o que não produz uma solução nova linearmente independente. Tomamos então a parte não proporcional a
:
Fazendo as contas de potências e coeficientes:
e
Logo uma escolha conveniente é
Como qualquer múltiplo não-nulo de
também é uma segunda solução, por simplicidade podemos escolher a forma escalada
que é mais simples e linearmente independente de
.
Passo 8
Escrever a solução geral. Como é uma EDO linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 9
Avaliar a solução geral em
com
e
. Substituindo:
Calcule passo a passo:
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