Calcular \int \ln (x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) de \ln(x), isto é, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\ln(x).
Informações dadas: a função a integrar é \ln(x). Aqui \ln(x) está definida para x>0, então trabalharemos nesse intervalo. O resultado final deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: a função \ln(x) não tem uma antiderivada óbvia por simples substituição, mas a sua derivada é simples ( \frac{1}{x}). Isso sugere usar integração por partes, que é boa quando temos um produto onde uma parte fica mais simples ao derivar. Mesmo que a integranda não pareça um produto, podemos escrever \ln(x)\cdot 1 e aplicar integração por partes. Pensa comigo: às vezes a melhor ideia é forçar um produto para usar uma regra útil.

Passo 3

Fórmula da integração por partes (e por que funciona): se escolhermos funções u(x) e v(x) com derivadas e primitivas adequadas, a integração por partes vem da regra do produto. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função que vamos derivar para obter du e dv é uma parte que vamos integrar para obter v. Vou explicar cada símbolo: u é uma função de x, dv é outra expressão em x vezes dx, du é a diferencial de u (isto é, du = u'(x)\,dx) e v é uma primitiva de dv (isto é, v' = integrando de dv).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: escrevemos \ln(x) como \ln(x)\cdot 1 e escolhemos
u = \ln(x),\qquad dv = dx.
Agora calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)\,dx = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int dv = \int dx = x.
Expliquei: du é a derivada de \ln(x) vezes dx; v é a primitiva de 1, que é x.

Passo 5

Substituímos na fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificamos o integrando dentro da segunda integral:
x\cdot\frac{1}{x}=1,
então
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx.
A integral de 1 é x, portanto
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (diferenciando para checar): derivamos F(x)=x\ln(x)-x.
Usando a regra do produto e a derivada de \ln(x),
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x)\bigr)-\frac{d}{dx}(x) = \bigl(1\cdot\ln(x) + x\cdot\frac{1}{x}\bigr) - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x).
Portanto está correto. Observação final: se o enunciado tivesse \ln|x| em vez de \ln(x), a primitiva geral seria x\ln|x|-x+C válida para x\neq0. Como aqui temos \ln(x), estamos no caso x>0.

Resposta

x\ln(x)-x+C

Exercícios relacionados