Calcular
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) de
, isto é, encontrar uma função
tal que
.
Informações dadas: a função a integrar é . Aqui
está definida para
, então trabalharemos nesse intervalo. O resultado final deve incluir a constante de integração
.
Informações dadas: a função a integrar é
Passo 2
Escolha do método: a função
não tem uma antiderivada óbvia por simples substituição, mas a sua derivada é simples (
). Isso sugere usar integração por partes, que é boa quando temos um produto onde uma parte fica mais simples ao derivar. Mesmo que a integranda não pareça um produto, podemos escrever
e aplicar integração por partes. Pensa comigo: às vezes a melhor ideia é forçar um produto para usar uma regra útil.
Passo 3
Fórmula da integração por partes (e por que funciona): se escolhermos funções
e
com derivadas e primitivas adequadas, a integração por partes vem da regra do produto. A fórmula é
Aqui
é uma função que vamos derivar para obter
e
é uma parte que vamos integrar para obter
. Vou explicar cada símbolo:
é uma função de
,
é outra expressão em
vezes
,
é a diferencial de
(isto é,
) e
é uma primitiva de
(isto é,
integrando de
).
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso: escrevemos
como
e escolhemos
Agora calculamos
e
:
Expliquei:
é a derivada de
vezes
;
é a primitiva de
, que é
.
Passo 5
Substituímos na fórmula
:
Simplificamos o integrando dentro da segunda integral:
então
A integral de
é
, portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (diferenciando para checar): derivamos
.
Usando a regra do produto e a derivada de ,
Usando a regra do produto e a derivada de
Portanto está correto. Observação final: se o enunciado tivesse
em vez de
, a primitiva geral seria
válida para
. Como aqui temos
, estamos no caso
.