Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS da forma:
6 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+10 x \frac{d y}{d x}-32 y=0,
que possui uma solução da forma: y_{1}=-5 x^{2}.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 1) Encontre a segunda solução elementar dessa EDO, y_{2}, e dê o valor numérico dessa solução para x=1.
Escreva sua resposta aqui y_{2}(1)=

Passo 1

O enunciado dá a EDO
6 x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 10 x \frac{dy}{dx} - 32 y = 0,
e afirma que uma solução é \,y_{1} = -5 x^{2}\,. A tarefa é encontrar a segunda solução elementar \,y_{2}\, (linearmente independente de \,y_{1}\,) e então calcular o valor numérico dessa solução em x=1, ou seja determinar \,y_{2}(1).

Passo 2

Vamos primeiro colocar a equação na forma padrão \,y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0\, dividindo por \,6x^{2}\,. Dividindo termo a termo obtemos:
y'' + \frac{10x}{6x^{2}} y' - \frac{32}{6x^{2}} y = 0.
Simplificando as frações temos
y'' + \frac{5}{3x} y' - \frac{16}{3x^{2}} y = 0.
Portanto
P(x)=\frac{5}{3x},\qquad Q(x)=-\frac{16}{3x^{2}}.

Passo 3

Como já conhecemos uma solução \,y_{1}, usamos o método de redução de ordem para achar \,y_{2}. Vou mostrar a ideia passo a passo (sem pular etapas).
Procuramos uma solução da forma \,y = u(x)\,y_{1}(x). Calculamos as derivadas:
y' = u' y_{1} + u y_{1}',\qquad y'' = u'' y_{1} + 2u' y_{1}' + u y_{1}''.
Substituindo na equação padrão y''+P y'+Q y=0 obtemos
u'' y_{1} + 2u' y_{1}' + u y_{1}'' + P\big(u' y_{1} + u y_{1}'\big) + Q u y_{1}=0.
Agrupando termos em u, u' e u'' resulta
u'' y_{1} + u'\big(2 y_{1}' + P y_{1}\big) + u\big(y_{1}'' + P y_{1}' + Q y_{1}\big)=0.
Mas \,y_{1}\, é solução da EDO, então \,y_{1}'' + P y_{1}' + Q y_{1}=0, logo o termo com u some. Fica
u'' y_{1} + u'\big(2 y_{1}' + P y_{1}\big)=0.
Agora definimos w = u'. Assim w' = u'' e obtemos a equação de primeira ordem
w' + w\left(\frac{2y_{1}'}{y_{1}} + P\right) = 0.
Esta é linear e separável. A solução geral para w é
w = C \exp\!\Big(-\int \big(2\frac{y_{1}'}{y_{1}} + P\big)\,dx\Big).
Note que \,\int 2\frac{y_{1}'}{y_{1}}\,dx = 2\ln|y_{1}|\, e portanto
w = C\,y_{1}^{-2}\,\exp\!\Big(-\int P\,dx\Big).
Como w = u', temos
u(x) = \int w\,dx = C\int \frac{\exp\!\big(-\int P\,dx\big)}{y_{1}^{2}}\,dx.
Assim uma fórmula prática para a segunda solução é
y_{2}(x) = y_{1}(x)\int \frac{\exp\!\big(-\int P(x)\,dx\big)}{y_{1}(x)^{2}}\,dx,
onde a constante multiplicativa pode ser escolhida para simplificar (qualquer constante não nula apenas escala y_{2}).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com os P e y_{1} que temos. Primeiro calculemos \int P\,dx:
\int P(x)\,dx = \int \frac{5}{3x}\,dx = \frac{5}{3}\ln|x|.
Logo
\exp\!\Big(-\int P\,dx\Big) = \exp\!\Big(-\frac{5}{3}\ln|x|\Big) = |x|^{-5/3}.
Como iremos avaliar em x=1>0, podemos trabalhar com x^{-5/3} (sem valor absoluto). A seguir calculemos y_{1}^{2}. Dado \,y_{1}=-5x^{2}\,,
y_{1}^{2} = (-5x^{2})^{2} = 25 x^{4}.
O integrando da fórmula é então
\frac{\exp(-\int P\,dx)}{y_{1}^{2}} = \frac{x^{-5/3}}{25 x^{4}} = \frac{1}{25} x^{-5/3 - 4} = \frac{1}{25} x^{-17/3}.

Passo 5

Integramos o integrando usando a regra da potência. Para \,x^{\alpha}\, com \alpha\neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C.
Aqui \alpha = -17/3, então \alpha+1 = -17/3 + 1 = -14/3. Assim
\int \frac{1}{25} x^{-17/3}\,dx = \frac{1}{25}\cdot\frac{x^{-14/3}}{-14/3} + C = \frac{1}{25}\cdot\left(-\frac{3}{14}\right) x^{-14/3} + C = -\frac{3}{350} x^{-14/3} + C.

Passo 6

Usamos essa primitiva na fórmula de y_{2}. Ignoramos a constante de integração C nessa parte particular porque adicionar uma constante apenas gera um múltiplo de y_{1} (não altera a independência linear) — portanto tomamos a primitiva sem o +C para obter uma solução independente. Assim
y_{2}(x) = y_{1}(x)\cdot\left(-\frac{3}{350} x^{-14/3}\right).
Substituindo y_{1}=-5x^{2} temos
y_{2}(x) = -5 x^{2}\cdot\left(-\frac{3}{350} x^{-14/3}\right) = \frac{15}{350} x^{2 - 14/3}.
Simplificando a constante \frac{15}{350}=\frac{3}{70} e o expoente 2-\tfrac{14}{3}=\tfrac{6-14}{3}=-\tfrac{8}{3}, obtemos
y_{2}(x) = \frac{3}{70}\,x^{-8/3}.
Observe que qualquer constante multiplicativa não nula poderia ser usada; uma forma mais simples (sem a constante fracionária) seria x^{-8/3}. Eu mantive \tfrac{3}{70} porque veio direto da integral, mas ambas são soluções linearmente independentes de -5x^{2}.

Passo 7

Finalmente avaliamos em x=1:
y_{2}(1) = \frac{3}{70}\,1^{-8/3} = \frac{3}{70}\cdot 1 = \frac{3}{70}.

Resposta

\,y_{2}(1)=\dfrac{3}{70}\,

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