Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS da forma:
que possui uma solução da forma:
.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 1) Encontre a segunda solução elementar dessa EDO,
, e dê o valor numérico dessa solução para
.
Escreva sua resposta aqui
□
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 1) Encontre a segunda solução elementar dessa EDO,
Escreva sua resposta aqui
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e afirma que uma solução é
. A tarefa é encontrar a segunda solução elementar
(linearmente independente de
) e então calcular o valor numérico dessa solução em
, ou seja determinar
.
Passo 2
Vamos primeiro colocar a equação na forma padrão
dividindo por
. Dividindo termo a termo obtemos:
Simplificando as frações temos
Portanto
Passo 3
Como já conhecemos uma solução
, usamos o método de redução de ordem para achar
. Vou mostrar a ideia passo a passo (sem pular etapas).
Procuramos uma solução da forma
. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação padrão
obtemos
Agrupando termos em
,
e
resulta
Mas
é solução da EDO, então
, logo o termo com
some. Fica
Agora definimos
. Assim
e obtemos a equação de primeira ordem
Esta é linear e separável. A solução geral para
é
Note que
e portanto
Como
, temos
Assim uma fórmula prática para a segunda solução é
onde a constante multiplicativa pode ser escolhida para simplificar (qualquer constante não nula apenas escala
).
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula com os
e
que temos. Primeiro calculemos
:
Logo
Como iremos avaliar em
, podemos trabalhar com
(sem valor absoluto). A seguir calculemos
. Dado
,
O integrando da fórmula é então
Passo 5
Integramos o integrando usando a regra da potência. Para
com
,
Aqui
, então
. Assim
Passo 6
Usamos essa primitiva na fórmula de
. Ignoramos a constante de integração
nessa parte particular porque adicionar uma constante apenas gera um múltiplo de
(não altera a independência linear) — portanto tomamos a primitiva sem o
para obter uma solução independente. Assim
Substituindo
temos
Simplificando a constante
e o expoente
, obtemos
Observe que qualquer constante multiplicativa não nula poderia ser usada; uma forma mais simples (sem a constante fracionária) seria
. Eu mantive
porque veio direto da integral, mas ambas são soluções linearmente independentes de
.
Passo 7
Finalmente avaliamos em
: