Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
9 x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 \frac{d y}{d x}=-2 x
que possui uma solução dada por : y_{1}=x^{\frac{4}{9}}.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 1) Encontre a segunda solução elementar dessa EDO, y_{2}, utilizando, obrigatoriamente, a fórmula de redução de ordem e dê o valor numérico dessa solução para x=-2.
Escreva sua resposta aqui y_{2}(-2)=-2.25

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
9x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5\frac{dy}{dx}=-2x
e informa que uma solução conhecida é \;y_{1}=x^{\frac{4}{9}}.\n
O que a Questão 1 pede:
  • Encontrar a segunda solução elementar \;y_{2}(x) da equação diferencial, usando obrigatoriamente a fórmula de redução de ordem (ou seja, a segunda solução da equação homogênea associada).
  • Calcular o valor numérico dessa solução em x=-2, isto é \;y_{2}(-2).\n
    Informações relevantes dadas:
  • A equação apresentada é de segunda ordem linear com coeficientes que dependem de x.
  • Foi dada uma solução não-trivial da equação homogênea associada (pois, substituindo y_{1} na parte esquerda sem o termo -2x obtém-se zero).
  • Devemos usar a fórmula de redução de ordem para obter a segunda solução independente.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a equação homogênea na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Para isso dividimos toda a equação por 9x (assumindo x\neq0):
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{5}{9x}\frac{dy}{dx}+0\cdot y=0.
Logo, na forma padrão temos
P(x)=\frac{5}{9x},\qquad Q(x)=0.
Explicação didática curta: a forma padrão é necessária porque a fórmula de redução de ordem usa exatamente o coeficiente P(x) que multiplica y' quando a equação está escrita com o coeficiente de y'' igual a 1.

Passo 3

Apresentação e explicação da fórmula de redução de ordem (a parte “teórica” que você pediu, com intuição):
  • Se conhecemos uma solução y_{1}(x) da equação homogênea, procuramos a segunda solução na forma
y_{2}(x)=y_{1}(x)\cdot u(x),
onde u(x) é uma função a determinar. A ideia é reduzir a ordem substituindo y=y_{1}u na equação e simplificar para obter uma equação de primeira ordem para u'.
  • Existe uma forma pronta e muito utilizada do resultado dessa manipulação: a segunda solução independente pode ser escrita como
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx,
ou seja, a integral do integrando \displaystyle \frac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}} multiplicada por y_{1}.
Explicação do que aparece aí: \int P(x)\,dx é a primitiva do coeficiente P da equação padrão; o fator exponencial e^{-\int P} aparece quando fazemos a mudança e simplificamos, e o denominador y_{1}^{2} surge porque tentamos eliminar termos envolvendo u não desejados. Essa fórmula dá uma primitiva; qualquer constante de integração produz uma combinação linear com y_{1}, o que é esperado (a segunda solução só é definida até somas/constantes que geram combinações lineares).

Passo 4

Aplicar a fórmula com os dados do problema:
  • Calculamos primeiro \displaystyle \int P(x)\,dx=\int \frac{5}{9x}\,dx=\frac{5}{9}\ln|x|.
    Portanto e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-\frac{5}{9}\ln|x|}=|x|^{-\frac{5}{9}}.(para x com sinal qualquer, podemos tratar potências racionais: como o denominador da potência é 9 (ímpar), \;x^{\alpha} está bem definido em \mathbb{R} para razões de expoente com denominador ímpar; aqui seguiremos com a notação x^{-\frac{5}{9}} entendendo essa continuidade).
  • O quadrado da solução dada é y_{1}(x)^{2}=\bigl(x^{\frac{4}{9}}\bigr)^{2}=x^{\frac{8}{9}}.
  • O integrando fica então \frac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}=\frac{x^{-\frac{5}{9}}}{x^{\frac{8}{9}}}=x^{-\frac{13}{9}}.
  • Calculamos a primitiva \int x^{-\frac{13}{9}}\,dx.Usamos a regra das potências: se \int x^{m}\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1} para m\neq-1. Aqui m=-\tfrac{13}{9}, então m+1=-\frac{13}{9}+1=-\frac{13}{9}+\frac{9}{9}=-\frac{4}{9}.Logo \int x^{-\frac{13}{9}}\,dx=\frac{x^{-\frac{4}{9}}}{-\frac{4}{9}}=-\frac{9}{4}x^{-\frac{4}{9}}+C,onde C é constante de integração.
  • Agora aplicamos a fórmula da segunda solução: y_{2}(x)=y_{1}(x)\cdot\left(-\frac{9}{4}x^{-\frac{4}{9}}+C\right).Substituindo y_{1}(x)=x^{\frac{4}{9}} obtemos y_{2}(x)=x^{\frac{4}{9}}\left(-\frac{9}{4}x^{-\frac{4}{9}}+C\right)=-\frac{9}{4}+C\,x^{\frac{4}{9}}.
  • Observação importante (didática): o termo C\,x^{\frac{4}{9}} é apenas uma múltipla de y_{1}, ou seja, representa uma combinação linear com a solução conhecida. Para obter uma segunda solução linearmente independente de y_{1} podemos escolher convenientemente a constante de modo a cancelar a parte proporcional a y_{1} e ficar com uma função independente. Uma escolha natural e simples é tomar C=0; com isso obtemos uma segunda solução particularmente simples: y_{2}(x)=-\frac{9}{4},ou, multiplicando por -\tfrac{4}{9} (qualquer múltiplo não-nulo também serve como segunda solução independente), poderíamos escolher y_{2}(x)=1. Ambas as escolhas diferem apenas por um fator constante e ambas são soluções independentes de y_{1}.
  • Aqui vou adotar a forma direta obtida pela primitiva sem somar a parte proporcional a y_{1}, ou seja y_{2}(x)=-\frac{9}{4},que é solução do homogêneo porque suas derivadas são zero e satisfazem 9x\cdot 0 + 5\cdot 0 =0.

Passo 5

Verificação rápida (para ficar tranquilo): se y_{2}(x) é constante então y_{2}'=0 e y_{2}''=0; substituindo na forma homogênea \;9x y''+5y'=0 obtemos 0+0=0. Portanto y_{2}(x)=-\tfrac{9}{4} é realmente uma solução. Como é constante e y_{1}=x^{4/9} não é proporcional a uma constante, as duas são linearmente independentes e geram o espaço das soluções do homogêneo.

Resposta

\displaystyle y_{2}(x)=-\frac{9}{4}\n
\displaystyle y_{2}(-2)=-2,25

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