Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
que possui uma solução dada por :
.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 1) Encontre a segunda solução elementar dessa EDO,
, utilizando, obrigatoriamente, a fórmula de redução de ordem e dê o valor numérico dessa solução para
.
Escreva sua resposta aqui
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 1) Encontre a segunda solução elementar dessa EDO,
Escreva sua resposta aqui
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que uma solução conhecida é
.\n
O que a Questão 1 pede:
O que a Questão 1 pede:
- Encontrar a segunda solução elementar
da equação diferencial, usando obrigatoriamente a fórmula de redução de ordem (ou seja, a segunda solução da equação homogênea associada). - Calcular o valor numérico dessa solução em
, isto é .\n
Informações relevantes dadas: - A equação apresentada é de segunda ordem linear com coeficientes que dependem de
. - Foi dada uma solução não-trivial da equação homogênea associada (pois, substituindo
na parte esquerda sem o termo obtém-se zero). - Devemos usar a fórmula de redução de ordem para obter a segunda solução independente.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a equação homogênea na forma padrão
. Para isso dividimos toda a equação por
(assumindo
):
Logo, na forma padrão temos
Explicação didática curta: a forma padrão é necessária porque a fórmula de redução de ordem usa exatamente o coeficiente
que multiplica
quando a equação está escrita com o coeficiente de
igual a
.
Passo 3
Apresentação e explicação da fórmula de redução de ordem (a parte “teórica” que você pediu, com intuição):
- Se conhecemos uma solução
da equação homogênea, procuramos a segunda solução na forma
onde
é uma função a determinar. A ideia é reduzir a ordem substituindo
na equação e simplificar para obter uma equação de primeira ordem para
.
- Existe uma forma pronta e muito utilizada do resultado dessa manipulação: a segunda solução independente pode ser escrita como
ou seja, a integral do integrando
multiplicada por
.
Explicação do que aparece aí: é a primitiva do coeficiente
da equação padrão; o fator exponencial
aparece quando fazemos a mudança e simplificamos, e o denominador
surge porque tentamos eliminar termos envolvendo
não desejados. Essa fórmula dá uma primitiva; qualquer constante de integração produz uma combinação linear com
, o que é esperado (a segunda solução só é definida até somas/constantes que geram combinações lineares).
Explicação do que aparece aí:
Passo 4
Aplicar a fórmula com os dados do problema:
- Calculamos primeiro
Portanto(para com sinal qualquer, podemos tratar potências racionais: como o denominador da potência é (ímpar), está bem definido em para razões de expoente com denominador ímpar; aqui seguiremos com a notação entendendo essa continuidade). - O quadrado da solução dada é
- O integrando fica então
- Calculamos a primitiva
Usamos a regra das potências: se para . Aqui , então Logo onde é constante de integração. - Agora aplicamos a fórmula da segunda solução:
Substituindo obtemos - Observação importante (didática): o termo
é apenas uma múltipla de , ou seja, representa uma combinação linear com a solução conhecida. Para obter uma segunda solução linearmente independente de podemos escolher convenientemente a constante de modo a cancelar a parte proporcional a e ficar com uma função independente. Uma escolha natural e simples é tomar ; com isso obtemos uma segunda solução particularmente simples: ou, multiplicando por (qualquer múltiplo não-nulo também serve como segunda solução independente), poderíamos escolher . Ambas as escolhas diferem apenas por um fator constante e ambas são soluções independentes de . - Aqui vou adotar a forma direta obtida pela primitiva sem somar a parte proporcional a
, ou seja que é solução do homogêneo porque suas derivadas são zero e satisfazem .
Passo 5
Verificação rápida (para ficar tranquilo): se
é constante então
e
; substituindo na forma homogênea
obtemos
. Portanto
é realmente uma solução. Como é constante e
não é proporcional a uma constante, as duas são linearmente independentes e geram o espaço das soluções do homogêneo.