Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
9 x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 \frac{d y}{d x}=-2 x
que possui uma solução dada por : y_{1}=x^{\frac{4}{9}}.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 3) Calcule a solução particular da forma:
y_{p}=x^{\frac{4}{9}} u_{1}+y_{2} u_{2}
e avalie no ponto x=4.
Escreva sua solução aqui: y_{p}(4)=

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
9x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5\frac{dy}{dx}=-2x
e informa que uma solução do problema homogêneo é y_{1}=x^{\frac{4}{9}}.
A tarefa é calcular uma solução particular da forma
y_{p}=x^{\frac{4}{9}}u_{1}+y_{2}u_{2}
e avaliar y_{p} no ponto x=4.
Informações relevantes: o termo não-homogêneo é -2x na forma dada; temos uma solução conhecida y_{1}; precisamos encontrar a outra solução independente y_{2}, aplicar variação de parâmetros e obter y_{p}(4).

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x) (dividindo por 9x, assumindo x\neq0). Dividindo a equação por 9x obtemos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{5}{9x}\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{9}.
Aqui P(x)=\frac{5}{9x}, Q(x)=0 e R(x)=-\frac{2}{9}.

Passo 3

Encontrar a segunda solução y_{2} do homogêneo pelo método de redução de ordem. Para uma EDO homogênea
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
e conhecida uma solução y_{1}, a segunda solução pode ser obtida por
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Vou aplicar essa fórmula com P(x)=\frac{5}{9x} e y_{1}=x^{\frac{4}{9}}.

Passo 4

Calcular e^{-\int P(x)\,dx}. Temos
\int P(x)\,dx=\int \frac{5}{9x}\,dx=\frac{5}{9}\ln|x|
logo
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-\frac{5}{9}\ln|x|}=|x|^{-\frac{5}{9}}.
Para x>0 escrevemos simplesmente x^{-\frac{5}{9}}.

Passo 5

Calcular o integrando para y_{2}:
\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}=\frac{x^{-\frac{5}{9}}}{\bigl(x^{\frac{4}{9}}\bigr)^{2}}=\frac{x^{-\frac{5}{9}}}{x^{\frac{8}{9}}}=x^{-\frac{13}{9}}.
Integrando:
\int x^{-\frac{13}{9}}\,dx=\frac{x^{-\frac{13}{9}+1}}{-\frac{13}{9}+1}=\frac{x^{-\frac{4}{9}}}{-\frac{4}{9}}=-\frac{9}{4}x^{-\frac{4}{9}}+C.
Multiplicando por y_{1}=x^{\frac{4}{9}} obtemos uma segunda solução (desprezando a constante multiplicativa)
y_{2}=x^{\frac{4}{9}}\left(-\frac{9}{4}x^{-\frac{4}{9}}\right)=-\frac{9}{4}.
Como multiplicar por constante não altera independência linear, podemos escolher uma forma simples e independente, por exemplo
y_{2}=1
(pois 1 é proporcional a -\tfrac{4}{9}y_{2} acima e é solução do homogêneo).

Passo 6

Preparar variação de parâmetros. A fórmula conveniente (forma direta) para solução particular é
y_{p}=-y_{1}\int \frac{y_{2}R}{W}\,dx+y_{2}\int \frac{y_{1}R}{W}\,dx,
onde W é o wronskiano W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}. Com y_{1}=x^{\frac{4}{9}} e y_{2}=1 temos y_{2}'=0 e
y_{1}'=\frac{4}{9}x^{-\frac{5}{9}},
então
W= -y_{1}'=-\frac{4}{9}x^{-\frac{5}{9}}.
Lembre que R(x)=-\frac{2}{9}.

Passo 7

Calcular a primeira integral
I_{1}=\int \frac{y_{2}R}{W}\,dx=\int \frac{1\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)}{-\frac{4}{9}x^{-\frac{5}{9}}}\,dx.
Simplificando a razão de constantes:
\frac{-\frac{2}{9}}{-\frac{4}{9}}=\frac{1}{2},
e a potência de x vem como x^{\frac{5}{9}}. Portanto
I_{1}=\int \frac{1}{2}x^{\frac{5}{9}}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{\frac{14}{9}}}{\frac{14}{9}}=\frac{9}{28}x^{\frac{14}{9}}+C.
O termo em y_{p} correspondente é -y_{1}I_{1}, isto é
-y_{1}I_{1}=-x^{\frac{4}{9}}\cdot\frac{9}{28}x^{\frac{14}{9}}=-\frac{9}{28}x^{\frac{18}{9}}=-\frac{9}{28}x^{2}.

Passo 8

Calcular a segunda integral
I_{2}=\int \frac{y_{1}R}{W}\,dx=\int \frac{x^{\frac{4}{9}}\left(-\frac{2}{9}\right)}{-\frac{4}{9}x^{-\frac{5}{9}}}\,dx.
A razão de constantes novamente é \frac{1}{2} e as potências de x somam x^{1}, logo o integrando é \frac{1}{2}x. Assim
I_{2}=\int \frac{1}{2}x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}+C.
O termo em y_{p} correspondente é y_{2}I_{2}=1\cdot\frac{x^{2}}{4}=\frac{x^{2}}{4}.

Passo 9

Somando os dois termos obtemos a solução particular completa (desprezando constantes de integração, que só geram soluções homogêneas):
y_{p}=-\frac{9}{28}x^{2}+\frac{1}{4}x^{2}=\left(\frac{1}{4}-\frac{9}{28}\right)x^{2}.
Calcular o coeficiente:
\frac{1}{4}-\frac{9}{28}=\frac{7}{28}-\frac{9}{28}=-\frac{2}{28}=-\frac{1}{14}.
Portanto
y_{p}=-\frac{1}{14}x^{2}.

Passo 10

Avaliar no ponto x=4:
y_{p}(4)=-\frac{1}{14}\cdot 4^{2}=-\frac{1}{14}\cdot 16=-\frac{16}{14}=-\frac{8}{7}.

Resposta

-\dfrac{8}{7}

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