Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
que possui uma solução dada por :
.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 3) Calcule a solução particular da forma:
e avalie no ponto
.
Escreva sua solução aqui:
□
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 3) Calcule a solução particular da forma:
Escreva sua solução aqui:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que uma solução do problema homogêneo é
.
A tarefa é calcular uma solução particular da forma
A tarefa é calcular uma solução particular da forma
e avaliar
no ponto
.
Informações relevantes: o termo não-homogêneo é na forma dada; temos uma solução conhecida
; precisamos encontrar a outra solução independente
, aplicar variação de parâmetros e obter
.
Informações relevantes: o termo não-homogêneo é
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão
(dividindo por
, assumindo
). Dividindo a equação por
obtemos
Aqui
,
e
.
Passo 3
Encontrar a segunda solução
do homogêneo pelo método de redução de ordem. Para uma EDO homogênea
e conhecida uma solução
, a segunda solução pode ser obtida por
Vou aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 4
Calcular
. Temos
logo
Para
escrevemos simplesmente
.
Passo 5
Calcular o integrando para
:
Integrando:
Multiplicando por
obtemos uma segunda solução (desprezando a constante multiplicativa)
Como multiplicar por constante não altera independência linear, podemos escolher uma forma simples e independente, por exemplo
(pois
é proporcional a
acima e é solução do homogêneo).
Passo 6
Preparar variação de parâmetros. A fórmula conveniente (forma direta) para solução particular é
onde
é o wronskiano
. Com
e
temos
e
então
Lembre que
.
Passo 7
Calcular a primeira integral
Simplificando a razão de constantes:
e a potência de
vem como
. Portanto
O termo em
correspondente é
, isto é
Passo 8
Calcular a segunda integral
A razão de constantes novamente é
e as potências de
somam
, logo o integrando é
. Assim
O termo em
correspondente é
.
Passo 9
Somando os dois termos obtemos a solução particular completa (desprezando constantes de integração, que só geram soluções homogêneas):
Calcular o coeficiente:
Portanto
Passo 10
Avaliar no ponto
: