Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
9 x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 \frac{d y}{d x}=-2 x
que possui uma solução dada por : y_{1}=x^{\frac{4}{9}}.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 2) Encontre a solução geral da parte homogênea dessa EDO, da forma y=k_{1} x^{\frac{4}{9}}+k_{2} y_{2} e a avalie para x=4, k_{1}=-2, k_{2}=1.
Escreva sua resposta aqui: y= □ 5.95

Passo 1

O enunciado dá a EDO
9x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5\frac{dy}{dx}=-2x
e informa que uma solução da equação homogênea associada é \;y_{1}=x^{\frac{4}{9}}.\n
O que se pede:
  1. Encontrar a solução geral da parte homogênea na forma \;y=k_{1}x^{\frac{4}{9}}+k_{2}y_{2}.\n
  2. Avaliar essa solução no ponto x=4 com k_{1}=-2 e k_{2}=1.

Passo 2

Vamos escrever a equação homogênea em forma padrão (coeficiente de \;y'' igual a 1). A parte homogênea é
9x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5\frac{dy}{dx}=0.
Dividindo por 9x (assumindo x\neq0) obtemos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{5}{9x}\frac{dy}{dx}=0.
Aqui podemos identificar o coeficiente de \;y' como \;p(x)=\frac{5}{9x} e o termo em \;y como \;q(x)=0.

Passo 3

Para encontrar a segunda solução linearmente independente \;y_{2} conhecendo \;y_{1}, usamos o método de redução de ordem. A fórmula prática (que eu vou derivar rapidamente) diz que uma segunda solução pode ser escrita como
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Explicando a fórmula de forma simples: dividimos a EDO padrão e procuramos uma solução da forma \;y=v(x)y_{1}(x). Ao substituir e simplificar, chegamos a uma equação de primeira ordem para v', cuja solução leva exatamente à integral acima. Não precisa decorar a derivação inteira, mas é importante saber que esta integral gera a segunda solução independentemente de constantes multiplicativas (que podem ser absorvidas em k_{2}).

Passo 4

Calculemos a integral da fórmula com nossos p(x) e y_{1}:
Primeiro,
\int p(x)\,dx=\int \frac{5}{9x}\,dx=\frac{5}{9}\ln x=\ln\bigl(x^{5/9}\bigr).
Logo
e^{-\int p(x)\,dx}=e^{-\frac{5}{9}\ln x}=x^{-5/9}.
Também
y_{1}^{2}=\bigl(x^{4/9}\bigr)^{2}=x^{8/9}.
Então o integrando é
\frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}=\frac{x^{-5/9}}{x^{8/9}}=x^{-13/9}.
Integramos:
\int x^{-13/9}\,dx=\frac{x^{-13/9+1}}{-13/9+1}=\frac{x^{-4/9}}{-4/9}=-\frac{9}{4}x^{-4/9}+C.
Portanto, escolhendo a constante de integração convenientemente (já que constantes multiplicativas podem ser absorvidas em k_{2}), obtemos
y_{2}=y_{1}\cdot\bigl(-\tfrac{9}{4}x^{-4/9}\bigr)=-\tfrac{9}{4}\,x^{4/9}x^{-4/9}=-\tfrac{9}{4}.
Como multiplicar por uma constante não muda a independência linear (apenas escala), podemos simplificar e tomar como segunda solução a constante 1 (mais simples e equivalente, pois -\tfrac{9}{4} é apenas um múltiplo constante):
y_{2}=1.
Verificação rápida (intuição): se y= constante então \;y'=0 e \;y''=0, logo satisfaz a homogênea 9x y''+5 y'=0. Portanto é solução válida.

Passo 5

Com as duas soluções independentes y_{1}=x^{4/9} e y_{2}=1, a solução geral da homogênea é
y=k_{1}x^{\frac{4}{9}}+k_{2}.

Passo 6

Agora avaliamo-la em x=4 com k_{1}=-2 e k_{2}=1:
y(-2,1;x=4)=-2\cdot 4^{\frac{4}{9}}+1.
Podemos simplificar um pouco 4^{4/9} escrevendo 4=2^{2}, então
4^{4/9}=(2^{2})^{4/9}=2^{8/9}.
Vamos calcular numericamente 2^{8/9}. Usando aproximação exponencial:
2^{8/9}\approx 1,85136\quad(\text{aprox.}),
logo
y\approx -2\cdot 1,85136 + 1 = -3,70272 + 1 = -2,70272.
Arredondando a quatro casas decimais temos -2,7027.

Resposta

y=k_{1}x^{\frac{4}{9}}+k_{2}\n
y(-2,1;x=4)=-2\cdot 4^{\frac{4}{9}}+1\approx -2,7027

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