Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
que possui uma solução dada por :
.
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 2) Encontre a solução geral da parte homogênea dessa EDO, da forma
e a avalie para
,
.
Escreva sua resposta aqui:
□ 5.95
A partir dessas informações, responda as seguintes questões:
Questão 2) Encontre a solução geral da parte homogênea dessa EDO, da forma
Escreva sua resposta aqui:
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e informa que uma solução da equação homogênea associada é
.\n
O que se pede:
O que se pede:
- Encontrar a solução geral da parte homogênea na forma
.\n - Avaliar essa solução no ponto
com e .
Passo 2
Vamos escrever a equação homogênea em forma padrão (coeficiente de
igual a 1). A parte homogênea é
Dividindo por
(assumindo
) obtemos
Aqui podemos identificar o coeficiente de
como
e o termo em
como
.
Passo 3
Para encontrar a segunda solução linearmente independente
conhecendo
, usamos o método de redução de ordem. A fórmula prática (que eu vou derivar rapidamente) diz que uma segunda solução pode ser escrita como
Explicando a fórmula de forma simples: dividimos a EDO padrão e procuramos uma solução da forma
. Ao substituir e simplificar, chegamos a uma equação de primeira ordem para
, cuja solução leva exatamente à integral acima. Não precisa decorar a derivação inteira, mas é importante saber que esta integral gera a segunda solução independentemente de constantes multiplicativas (que podem ser absorvidas em
).
Passo 4
Calculemos a integral da fórmula com nossos
e
:
Primeiro,
Primeiro,
Logo
Também
Então o integrando é
Integramos:
Portanto, escolhendo a constante de integração convenientemente (já que constantes multiplicativas podem ser absorvidas em
), obtemos
Como multiplicar por uma constante não muda a independência linear (apenas escala), podemos simplificar e tomar como segunda solução a constante 1 (mais simples e equivalente, pois
é apenas um múltiplo constante):
Verificação rápida (intuição): se
constante então
e
, logo satisfaz a homogênea
. Portanto é solução válida.
Passo 5
Com as duas soluções independentes
e
, a solução geral da homogênea é
Passo 6
Agora avaliamo-la em
com
e
:
Podemos simplificar um pouco
escrevendo
, então
Vamos calcular numericamente
. Usando aproximação exponencial:
logo
Arredondando a quatro casas decimais temos
.