Considere a seguinte EDO de segunda ordem.
Questão 2.
x^{\prime \prime}-4 x^{\prime}+13 x=e^{3 t}
a) (0,75 pt) Defina solução geral para uma EDO homogênea de segunda ordem.
b) (1,5 pt) Determine a solução geral para a EDO homogênea associada à (1).
c) (1,5 pt) Determine a solução geral para (1).

Passo 1

Nesse exercício temos a EDO de segunda ordem
x'' - 4x' + 13x = e^{3t}
e pede:
a) definir o que é a solução geral de uma EDO homogênea de segunda ordem;
b) achar a solução geral da homogênea associada;
c) achar a solução geral completa.
O conteúdo que vamos usar inclui o conceito de espaço de soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, a equação característica para coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.

Passo 2

a) Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem
x'' + p(t)\,x' + q(t)\,x = 0
a solução geral é uma combinação linear de duas soluções independentes x_1(t) e x_2(t), ou seja,
x_h(t) = C_1\,x_1(t) + C_2\,x_2(t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

b) Na homogênea associada
x'' - 4x' + 13x = 0
formamos a equação característica
r^2 - 4r + 13 = 0.
Suas raízes são
r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = 2 \pm 3i.
Como são complexas conjugadas, a solução real geral é
x_h(t) = e^{2t}\bigl(C_1 \cos 3t + C_2 \sin 3t\bigr).

Passo 4

c) Para a solução particular de
x'' - 4x' + 13x = e^{3t}
usamos o método dos coeficientes indeterminados e supomos
x_p(t) = A\,e^{3t}.
Então
x_p' = 3A\,e^{3t}, \quad x_p'' = 9A\,e^{3t},
substituindo na EDO:
(9A - 12A + 13A)e^{3t} = 10A\,e^{3t} = e^{3t} \;\Longrightarrow\;10A = 1\;\Longrightarrow\;A = \tfrac{1}{10}.
Logo
x_p(t) = \tfrac{1}{10}e^{3t}.
A solução geral completa é
x(t) = x_h(t) + x_p(t) = e^{2t}\bigl(C_1\cos 3t + C_2\sin 3t\bigr) + \tfrac{1}{10}e^{3t}.

Resposta

(a) Para \,x'' + p(t)x' + q(t)x = 0, a solução geral é
x_h(t) = C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t),
onde x_1,x_2 são duas soluções linearmente independentes.
(b) A homogênea associada
x'' -4x' +13x = 0
tem solução
x_h(t) = e^{2t}\bigl(C_1 \cos 3t + C_2 \sin 3t\bigr).
(c) A solução geral da EDO completa é
x(t) = e^{2t}\bigl(C_1\cos 3t + C_2\sin 3t\bigr) + \frac{1}{10}e^{3t}.

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