Considere a seguinte EDO de segunda ordem.
Questão 2.
a) (0,75 pt) Defina solução geral para uma EDO homogênea de segunda ordem.
b) (1,5 pt) Determine a solução geral para a EDO homogênea associada à (1).
c) (1,5 pt) Determine a solução geral para (1).
Questão 2.
b) (1,5 pt) Determine a solução geral para a EDO homogênea associada à (1).
c) (1,5 pt) Determine a solução geral para (1).
Passo 1
Nesse exercício temos a EDO de segunda ordem
e pede:
a) definir o que é a solução geral de uma EDO homogênea de segunda ordem;
b) achar a solução geral da homogênea associada;
c) achar a solução geral completa.
O conteúdo que vamos usar inclui o conceito de espaço de soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, a equação característica para coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.
a) definir o que é a solução geral de uma EDO homogênea de segunda ordem;
b) achar a solução geral da homogênea associada;
c) achar a solução geral completa.
O conteúdo que vamos usar inclui o conceito de espaço de soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, a equação característica para coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.
Passo 2
a) Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem
a solução geral é uma combinação linear de duas soluções independentes
e
, ou seja,
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
b) Na homogênea associada
formamos a equação característica
Suas raízes são
Como são complexas conjugadas, a solução real geral é
Passo 4
c) Para a solução particular de
usamos o método dos coeficientes indeterminados e supomos
Então
substituindo na EDO:
Logo
A solução geral completa é
Resposta
(a) Para
, a solução geral é
onde
são duas soluções linearmente independentes.
(b) A homogênea associada
(b) A homogênea associada
tem solução
(c) A solução geral da EDO completa é