Questão 4. (2,0 pt) Um corpo de massa m=2 \mathrm{~kg} está preso a uma extremidade de uma mola, com constante de elasticidade \mu=28 U.M. A outra extremidade da mola está presa a parede e sabendo que o corpo está em cima de uma superfície com coeficiente de atrito \kappa=18 U.M… Sabendo que o corpo foi deslocado x metros, determine a função que descreve o movimento do corpo.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa–mola com amortecimento viscoso, em que a massa é m=2, a constante elástica é \mu=28 e o coeficiente de amortecimento é \kappa=18. Vamos obter a equação diferencial do movimento e resolvê-la.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton, a força resultante é soma da força elástica e da força de amortecimento:
m\,x'' + \kappa\,x' + \mu\,x = 0
Substituindo m=2, \kappa=18, \mu=28, temos
2\,x'' + 18\,x' + 28\,x = 0.
Dividindo tudo por 2, obtemos
x'' + 9\,x' + 14\,x = 0.

Passo 3

A equação característica associada é
r^2 + 9r + 14 = 0,
cuja solução é
r = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{-9 \pm 5}{2},
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r_1 = -2 \quad\text{e}\quad r_2 = -7.
Portanto, a solução geral é
x(t) = A\,e^{-2t} + B\,e^{-7t}.

Passo 4

Usamos as condições iniciais: ao soltar, x(0)=x (deslocamento inicial dado) e x'(0)=0.
Da primeira condição vem
A + B = x.
Da derivada
x'(t) = -2A\,e^{-2t} -7B\,e^{-7t},
em t=0
-2A - 7B = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2A + 7B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = -\frac{2A}{7}.
Substituindo em A+B=x:
A - \frac{2A}{7} = x \quad\Longrightarrow\quad \frac{5A}{7} = x \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{7x}{5},
B = -\frac{2x}{5}.

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, obtemos
x(t) = \frac{7x}{5}\,e^{-2t} \;-\; \frac{2x}{5}\,e^{-7t}.

Resposta

x(t) = \frac{7x}{5}\,e^{-2t} \;-\; \frac{2x}{5}\,e^{-7t}.

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