Considere a seguinte EDO de segunda ordem.
Questão 3.
a) ( (0,75 pt) ) Mostre que \varphi_{1}(t)=t^{3} é uma solução para a EDO homogênea associada à (2).
b) (1,5 pt) Determine uma solução para a EDO homogênea associada à (2), que seja l.i. com \varphi_{2}.
c) ((1,5)) Determine a solução geral para (2).
Questão 3.
b) (1,5 pt) Determine uma solução para a EDO homogênea associada à (2), que seja l.i. com \varphi_{2}.
c) ((1,5)) Determine a solução geral para (2).
Passo 1
O enunciado dá a EDO de segunda ordem
e pede: (a) verificar que
resolve a homogênea associada
(b) achar outra solução linearmente independente de
, e (c) obter a solução geral da não homogênea.
O conteúdo que vamos usar é: equação de Euler–Cauchy (supor ) para o homogêneo, e método de coeficientes indeterminados adaptado (ou variação de parâmetros) para achar uma particular da não homogênea.
O conteúdo que vamos usar é: equação de Euler–Cauchy (supor
Passo 2
Para checar que
resolve a homogênea, calcule
e substitua em
Logo
é solução do homogêneo.
Passo 3
Para achar a segunda solução do homogêneo, supomos
. Então
Como
já deu
, a outra solução é
Passo 4
Para resolver a não homogênea usamos coeficientes indeterminados. Como o termo de forçamento é polinomial
e o “tipo Euler” pede correção logarítmica quando ensaiamos um termo da forma
, propomos
Calculemos suas derivadas:
Substituindo na EDO:
Queremos que isso seja
, logo
Portanto
Passo 5
A solução geral da EDO original é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias.