Considere a seguinte EDO de segunda ordem.
Questão 3.
y^{\prime \prime}+\frac{2}{t} y^{\prime}-\frac{12}{t^{2}} y=7 t+14
a) ( (0,75 pt) ) Mostre que \varphi_{1}(t)=t^{3} é uma solução para a EDO homogênea associada à (2).
b) (1,5 pt) Determine uma solução para a EDO homogênea associada à (2), que seja l.i. com \varphi_{2}.
c) ((1,5)) Determine a solução geral para (2).

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
y''+\frac{2}{t}y'-\frac{12}{t^{2}}y=7t+14
e pede: (a) verificar que \varphi_{1}(t)=t^{3} resolve a homogênea associada
y''+\frac{2}{t}y'-\frac{12}{t^{2}}y=0,
(b) achar outra solução linearmente independente de \varphi_{1}, e (c) obter a solução geral da não homogênea.
O conteúdo que vamos usar é: equação de Euler–Cauchy (supor y=t^{r}) para o homogêneo, e método de coeficientes indeterminados adaptado (ou variação de parâmetros) para achar uma particular da não homogênea.

Passo 2

Para checar que \varphi_{1}(t)=t^{3} resolve a homogênea, calcule
\varphi_{1}'=3t^{2}, \quad \varphi_{1}''=6t
e substitua em
\varphi_{1}''+\frac{2}{t}\varphi_{1}'-\frac{12}{t^{2}}\varphi_{1} =6t+\frac{2}{t}\cdot3t^{2}-\frac{12}{t^{2}}\cdot t^{3} =6t+6t-12t=0.
Logo \varphi_{1}(t)=t^{3} é solução do homogêneo.

Passo 3

Para achar a segunda solução do homogêneo, supomos y=t^{r}. Então
y''+\frac{2}{t}y'-\frac{12}{t^{2}}y=0 \;\Longrightarrow\; r(r-1)+2r-12=0 \;\Longrightarrow\; r^{2}+r-12=0 \;\Longrightarrow\; r=3\quad\text{ou}\quad r=-4.
Como r=3 já deu t^{3}, a outra solução é
\varphi_{2}(t)=t^{-4}.

Passo 4

Para resolver a não homogênea usamos coeficientes indeterminados. Como o termo de forçamento é polinomial 7t+14 e o “tipo Euler” pede correção logarítmica quando ensaiamos um termo da forma t^{3}, propomos
y_{p}(t)=t^{3}\ln t + A\,t^{2}.
Calculemos suas derivadas:
y_{p}'=3t^{2}\ln t + t^{2}+2A\,t, \quad y_{p}''=6t\ln t +3t +2t +2A=6t\ln t +5t+2A.
Substituindo na EDO:
y_{p}''+\frac{2}{t}y_{p}'-\frac{12}{t^{2}}y_{p} =(6t\ln t+5t+2A) +\Bigl(6t\ln t+2t+4A\Bigr) -\Bigl(12t\ln t+12A\Bigr) =7t-6A.
Queremos que isso seja 7t+14, logo
-6A=14 \;\Longrightarrow\; A=-\frac{7}{3}.
Portanto
y_{p}(t)=t^{3}\ln t - \frac{7}{3}\,t^{2}.

Passo 5

A solução geral da EDO original é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}\,t^{3}+C_{2}\,t^{-4} +\;t^{3}\ln t \;-\;\tfrac{7}{3}\,t^{2},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}\,t^{3}+C_{2}\,t^{-4}+t^{3}\ln t-\frac{7}{3}\,t^{2}.

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