Considere a seguinte EDO,
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-4) y=0
Determine as raízes da equação indicial da EDO.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO x^2y''+xy'+(x^2-4)y=0 e pede as raízes da equação indicial. O conteúdo é o método de Frobenius (séries de potências em torno de um ponto singular regular, aqui x=0).

Passo 2

Para aplicar Frobenius, primeiro verificamos que x=0 é um ponto singular regular, pois P(x)=x e Q(x)=x^2-4 em x^2y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Então assumimos uma solução do tipo y=sumn=0^inftyanx^n+r, a0neq0
Calculamos as derivadas: y'=sumn=0^inftyan(n+r)x^n+r-1, y''=sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1)x^n+r-2 Substituindo na EDO e agrupando potências de x^n+r, o menor expoente vem de n=0.

Passo 3

O coeficiente de x^r (termo com n=0) deve anular: a0l[r(r-1)+r-4r]=0 Como a0neq0, obtemos a equação indicial r(r-1)+r-4=0 que simplifica para r^2-4=0

Passo 4

Resolvendo r^2-4=0 achamos as raízes da indicial: r=2e r=-2

Resposta

As raízes são r₁ = 2 e r₂ = -2.

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