Dada f(t)=e^-3 t senh(2 t)-1+t^2 cos (3 t); determine (L(f(t)))(s)
(Valor =2,5)

Passo 1

O exercício pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^-3tsinh(2t)-1+t^2cos(3t). O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar as propriedades de linearidade, a fórmula de Lsinh(at) e o teorema do deslocamento no plano s, além da regra para momentos t^n.

Passo 2

Para e^-3tsinh(2t) usamos primeiro Lsinh(2t)(s)=2s^2-2^2. Em seguida, pelo teorema do deslocamento: Le^atf(t)(s)=F(s-a). Aqui a=-3, então
Le^-3tsinh(2t)(s)=2(s+3)^2-4=2s^2+6s+5
O termo constante -1 tem transformada direta:
L-1(s)=-1s

Passo 3

Para t^2cos(3t) usamos a propriedade Lt^n f(t)=(-1)^nd^nds^nF(s), onde F(s)=Lcos(3t)=ss^2+9. Calculamos
F(s)=ss^2+9,
F'(s)=(s^2+9)-2s^2(s^2+9)^2=9-s^2(s^2+9)^2,
F''(s)=-2s27-s^2(s^2+9)^3
Como n=2 e (-1)^2=1, então
Lt^2cos(3t)(s)=-2s27-s^2(s^2+9)^3=2s^3-54s(s^2+9)^3

Passo 4

Somando tudo pela linearidade, obtemos a transformada de f(t).

Resposta

Lf(t)(s)=2s^2+6s+5-1s+2s^3-54s(s^2+9)^3

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