Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Moştre que a equação diferencial (1.32) não é exata e que
\mu(x)=x é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (1.32).
(c) Encontre a solução de (1.32) que satisfaz
y(1)=1.
\mu(x)=x é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (1.32).
(c) Encontre a solução de (1.32) que satisfaz
y(1)=1.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para (a) mostrar que ela não é exata e que
é um fator integrante; (b) encontrar a solução geral; (c) aplicar a condição
. Vamos usar conceitos de equações exatas: identificar
e
, testar exatidão, achar fator integrante que dependa só de
, e depois integrar para obter a solução implícita.
Passo 2
Escrevendo
temos
Como
, a equação não é exata. Para testar um fator integrante
, calculamos
que depende apenas de
. Logo
Passo 3
Multiplicando a equação original por
obtemos
isto é, agora
que de fato satisfaz
. Existe, então, uma função potencial
tal que
Para ajustar
, fazemos
Assim a solução implícita geral é
Passo 4
Aplicando
em
com
,
, obtemos
logo
. A solução particular é
Resposta
Para