Considere a seguinte equação diferencial:
2+e^yx+(e^y+yx) y^prime=0
(a) Moştre que a equação diferencial (1.32) não é exata e que
\mu(x)=x é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (1.32).
(c) Encontre a solução de (1.32) que satisfaz
y(1)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
2+e^yx+l(e^y+yxr),y'=0
e pede para (a) mostrar que ela não é exata e que mu(x)=x é um fator integrante; (b) encontrar a solução geral; (c) aplicar a condição y(1)=1. Vamos usar conceitos de equações exatas: identificar M(x,y) e N(x,y), testar exatidão, achar fator integrante que dependa só de x, e depois integrar para obter a solução implícita.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y)=2+e^yx, N(x,y)=e^y+yx,
temos
partial Mpartial y =e^yx, partial Npartial x =-yx^2
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata. Para testar um fator integrante mu(x), calculamos
partial Mpartial y-partial Npartial xN = e^yx+yx^2 e^y+yx =1x,
que depende apenas de x. Logo
dmudx/mu=1x Longrightarrow mu(x)=x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=x obtemos
2x+e^y+l(xe^y+yr),y'=0,
isto é, agora
widetilde M(x,y)=2x+e^y, widetilde N(x,y)=xe^y+y,
que de fato satisfaz partialwidetilde M/partial y=partialwidetilde N/partial x= e^y. Existe, então, uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x =widetilde M=2x+e^y Longrightarrow Phi(x,y)=x^2+x,e^y+h(y)
Para ajustar h(y), fazemos
partial Phipartial y =x,e^y+h'(y) stackrel!=xe^y+y Longrightarrow h'(y)=y Longrightarrow h(y)=y^22
Assim a solução implícita geral é
x^2+x,e^y+y^22=C

Passo 4

Aplicando y(1)=1 em
x^2+x,e^y+y^22=C
com x=1, y=1, obtemos
1^2+1cdot e^1+1^22 =1+e+tfrac12 =e+tfrac32,
logo C=e+tfrac32. A solução particular é
x^2+x,e^y+y^22 =e+32

Resposta

x^2+x,e^y+dfracy^22=C, onde o fator integrante é mu(x)=x.
Para y(1)=1 temos C=e+tfrac32, ficando
x^2+x,e^y+y^22 =e+32

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