Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.31) não é exata e que
\mu(x)=x^{2} é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (1.31).
(c) Encontre a solução de (1.31) que passa pelo ponto ( 0,0 ).
\mu(x)=x^{2} é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (1.31).
(c) Encontre a solução de (1.31) que passa pelo ponto ( 0,0 ).
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Temos a equação diferencial
Temos a equação diferencial
Isso pode ser escrita em forma diferencial
com
O conteúdo é de equações exatas e fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Verificação de exatidão
Calculamos as derivadas parciais
Calculamos as derivadas parciais
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 3
Determinação do fator integrante
Para uma que depende só de
, exige-se
Para uma
Logo
Passo 4
Multiplicação pelo fator integrante e solução geral
Multiplicando tudo por obtemos
Multiplicando tudo por
que satisfaz
.
Procuramos tal que
e
.
Integrando em :
Procuramos
Integrando em
Fazendo
,
dá
Logo
Impondo
resulta
.
Portanto a solução geral implícita é
Portanto a solução geral implícita é
ou, multiplicando por 3,
Passo 5
Solução particular pelo ponto
Impondo ,
em
dá
Impondo
A solução que passa por
é
Resposta
(a) A equação não é exata porque
,
e é o fator integrante.
(b) A solução geral implícita é
e
(b) A solução geral implícita é
(c) A solução que passa por
é