Considere a seguinte equação diferencial:
e^x^3+sen y+x3 cos y y^prime=0
(a) Mostre que a equação diferencial (1.31) não é exata e que
\mu(x)=x^{2} é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (1.31).
(c) Encontre a solução de (1.31) que passa pelo ponto ( 0,0 ).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos a equação diferencial
e^x^3 + sin y + x3cos y,y'=0
Isso pode ser escrita em forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=e^x^3+sin y, N(x,y)=x3cos y
O conteúdo é de equações exatas e fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Verificação de exatidão
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y =cos y, partial Npartial x =13cos y
Como cos yneq13cos y em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Determinação do fator integrante mu(x)
Para uma mu que depende só de x, exige-se
dlnmudx =partial Mpartial y-partial Npartial xN =cos y - tfrac13cos ytfracx3cos y =tfrac23cos ytfracx3cos y =2x
Logo
dlnmudx=2x Longrightarrow lnmu=2ln x+C Longrightarrow mu(x)=x^2

Passo 4

Multiplicação pelo fator integrante e solução geral
Multiplicando tudo por x^2 obtemos
tilde M(x,y)=x^2e^x^3+x^2sin y, tilde N(x,y)=x^2cdotx3cos y=x^33cos y,
que satisfaz partialtilde M/partial y=partialtilde N/partial x=x^2cos y.
Procuramos Psi(x,y) tal que
Psix=tilde M e Psiy=tilde N.
Integrando em x:
Psi(x,y) =integrall(x^2e^x^3+x^2sin yr),dx =integral x^2e^x^3,dx +sin yintegral x^2,dx
Fazendo u=x^3, du=3x^2dx
integral x^2e^x^3,dx =13e^x^3, integral x^2,dx=x^33
Logo
Psi(x,y) =13e^x^3+x^33sin y + h(y)
Impondo Psiy=x^33cos y + h'(y)=tilde N resulta h'(y)=0.
Portanto a solução geral implícita é
Psi(x,y)=13e^x^3+x^33sin y=C,
ou, multiplicando por 3,
e^x^3+x^3sin y=C'

Passo 5

Solução particular pelo ponto (0,0)
Impondo x=0, y=0 em e^x^3+x^3sin y=C'
e^0+0cdotsin0=C';Longrightarrow;1=C'
A solução que passa por (0,0) é
e^x^3+x^3sin y=1

Resposta

(a) A equação não é exata porque
partial M/partial y=cos yneq13cos y=partial N/partial x,
e mu(x)=x^2 é o fator integrante.
(b) A solução geral implícita é
e^x^3+x^3sin y=C
(c) A solução que passa por (0,0) é
e^x^3+x^3sin y=1

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