Considere a seguinte equação diferencial e a condição inicial:
Obtenha a solução explícita para o PVI.
Passo 1
Nesse PVI temos a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
. O conteúdo é equações diferenciais separáveis, então vamos separar variáveis, integrar e usar a condição inicial para achar a constante.
Passo 2
Reescrevendo a EDO, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora separamos variáveis:
Em seguida integramos os dois lados:
O que dá
Passo 3
Para determinar a constante de integração
, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
, obtemos
, logo
. Assim a relação implícita fica
Passo 4
Para obter a solução explícita, reescrevemos como equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Escolhemos o sinal que satisfaz
, isto é, o menos. Portanto
$$
y=1-\sqrt{1+x-x^2}$$
Passo 5
final_answer: y=1-\sqrt{1+x-x^2}