Considere a seguinte equação diferencial e a condição inicial:
l y^prime=1-2 x2(y-1) y(0)=0
Obtenha a solução explícita para o PVI.

Passo 1

Nesse PVI temos a equação diferencial de primeira ordem y'=1-2x2(y-1) com condição inicial y(0)=0. O conteúdo é equações diferenciais separáveis, então vamos separar variáveis, integrar e usar a condição inicial para achar a constante.

Passo 2

Reescrevendo a EDO, multiplicamos ambos os lados por 2(y-1):
2(y-1)dydx=1-2x
Agora separamos variáveis:
2(y-1),dy=(1-2x),dx
Em seguida integramos os dois lados:
integral 2(y-1),dy=integral(1-2x),dx
O que dá
y^2-2y=x-x^2+C

Passo 3

Para determinar a constante de integração C, usamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0 e y=0 em y^2-2y=x-x^2+C, obtemos 0-0=0-0+C, logo C=0. Assim a relação implícita fica
y^2-2y=x-x^2

Passo 4

Para obter a solução explícita, reescrevemos como equação quadrática em y:
y^2-2y-(x-x^2)=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y=2pmraiz4-4(x^2-x)2=1pmraiz1+x-x^2
Escolhemos o sinal que satisfaz y(0)=0, isto é, o menos. Portanto
$$
y=1-\sqrt{1+x-x^2}$$

Passo 5

final_answer: y=1-\sqrt{1+x-x^2}

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