Verifique se a função
dada a seguir é uma função harmônica (
satisfaz a equação de Laplace) em algum domínio.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se a função f(x,y,z)=x²+y²+z² é harmônica, ou seja, satisfaz a equação de Laplace num domínio. Vamos precisar da definição de função harmônica e da forma do laplaciano em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Uma função f é dita harmônica num domínio se satisfizer a equação de Laplace
. Em coordenadas cartesianas usamos o operador laplaciano definido por:
Passo 3
Para f(x,y,z)=x²+y²+z² calculamos as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro,
De modo análogo temos
Somando, obtemos
Passo 4
Como
, a função não satisfaz a equação de Laplace em nenhum domínio aberto. Logo, f(x,y,z)=x²+y²+z² não é harmônica.
Resposta
f(x,y,z)=x²+y²+z² não é harmônica em nenhum domínio, pois
.