Verifique se a função f dada a seguir é uma função harmônica ( f satisfaz a equação de Laplace) em algum domínio.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a função f(x,y,z)=x²+y²+z² é harmônica, ou seja, satisfaz a equação de Laplace num domínio. Vamos precisar da definição de função harmônica e da forma do laplaciano em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Uma função f é dita harmônica num domínio se satisfizer a equação de Laplace De. Em coordenadas cartesianas usamos o operador laplaciano definido por:
De

Passo 3

Para f(x,y,z)=x²+y²+z² calculamos as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro,
partial fpartial x=2x Longrightarrow partial^2 fpartial x^2=2
De modo análogo temos
partial^2 fpartial y^2=2 e partial^2 fpartial z^2=2
Somando, obtemos
De

Passo 4

Como De, a função não satisfaz a equação de Laplace em nenhum domínio aberto. Logo, f(x,y,z)=x²+y²+z² não é harmônica.

Resposta

f(x,y,z)=x²+y²+z² não é harmônica em nenhum domínio, pois De.

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