Considere a seguinte equação diferencial e a condição inicial:
Determine o maior intervalo para o qual a solução encontrada é válida.
Passo 1
Temos a EDO inicial
É uma equação de variáveis separáveis: podemos escrever em termos de
e
separadamente e depois integrar.
Passo 2
Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Agora integramos os dois lados:
Passo 3
Calculamos as integrais:
No lado esquerdo temos
e no direito
Logo a solução implícita é
Passo 4
Usamos a condição inicial
para achar a constante
:
Então
Passo 5
Para isolar
, completamos o quadrado:
Logo
Portanto
Como
deve-se escolher o sinal “-”, pois em
temos
.
Passo 6
Para que a solução faça sentido e o denominador
não zere na EDO original, precisamos de duas condições:
- O argumento da raiz deve ser não negativo:
que equivale a cujas raízes são . O intervalo dessa desigualdade é - O denominador
não pode ser zero no interior do intervalo. Ele se anula exatamente nos extremos, então precisamos excluí-los para manter a EDO válida.
Passo 7
Portanto o maior intervalo aberto contendo
onde a solução existe e é única é
Passo 8
Dentro desse intervalo a solução explícita é
Resposta
O maior intervalo de validade da solução é
.