Considere a seguinte equação diferencial e a condição inicial:
l y^prime=1-2 x2(y-1) y(0)=0
Determine o maior intervalo para o qual a solução encontrada é válida.

Passo 1

Temos a EDO inicial
y'=1-2x2(y-1), y(0)=0
É uma equação de variáveis separáveis: podemos escrever em termos de y e x separadamente e depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por 2(y-1) e por dx:
2(y-1),dy = (1-2x),dx
Agora integramos os dois lados:

Passo 3

Calculamos as integrais:
integral 2(y-1),dy = integral(1-2x),dx
No lado esquerdo temos
2integral(y-1),dy = 2l(tfracy^22-yr) = y^2-2y
e no direito
integral(1-2x),dx = x - x^2 + C
Logo a solução implícita é
y^2 - 2y = x - x^2 + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=0 para achar a constante C:
0^2 - 2cdot0 = 0 - 0 + C implies C = 0
Então
y^2 - 2y = x - x^2

Passo 5

Para isolar y, completamos o quadrado:
y^2 - 2y + 1 = x - x^2 + 1
Logo
(y-1)^2 = -x^2 + x + 1
Portanto
y = 1 pm raiz-x^2 + x + 1
Como y(0)=0 deve-se escolher o sinal “-”, pois em x=0 temos 1 - raiz1 = 0.

Passo 6

Para que a solução faça sentido e o denominador y-1 não zere na EDO original, precisamos de duas condições:
  1. O argumento da raiz deve ser não negativo: -x^2 + x + 1 >= 0 que equivale a x^2 - x - 1 <= 0 cujas raízes são 1pmraiz52. O intervalo dessa desigualdade é 1-raiz52 <= x <= 1+raiz52
  2. O denominador y-1 = -raiz-x^2+x+1 não pode ser zero no interior do intervalo. Ele se anula exatamente nos extremos, então precisamos excluí-los para manter a EDO válida.

Passo 7

Portanto o maior intervalo aberto contendo x=0 onde a solução existe e é única é
l(tfrac1-raiz52,,tfrac1+raiz52r)

Passo 8

Dentro desse intervalo a solução explícita é
y(x) = 1 - raiz-x^2 + x + 1

Resposta

O maior intervalo de validade da solução é l(tfrac1-raiz52,,tfrac1+raiz52r).

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