Considere a seguinte equação diferencial e a condição inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=\frac{1-2 x}{2(y-1)} \\\ y(0)=0 \end{array}\right.
(a) Obtenha a solução explícita para o PVI.
(b) Determine o maior intervalo para o qual a solução encontrada é válida.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:
  • A equação diferencial com condição inicial é
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=\dfrac{1-2x}{2(y-1)},\\[6pt] y(0)=0. \end{array}\right.
  • Perguntas:
    (a) Obter a solução explícita do problema de valor inicial (PVI).
    (b) Determinar o maior intervalo em que essa solução é válida.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão de y' em termos de x e y.
  • A condição inicial y(0)=0.]

Passo 2

Identificação do método e separação de variáveis (explicação didática):
  • A equação dada tem a forma em que dá para “separar” os termos envolvendo y de um lado e os envolvendo x do outro. Isso se chama método de separação de variáveis.
  • A ideia é escrever a equação na forma g(y)\,dy = h(x)\,dx e integrar ambos os lados.
  • Partindo de
y'=\dfrac{1-2x}{2(y-1)},
lembrando que y'=\dfrac{dy}{dx}, multiplicamos ambos os lados por dx e por 2(y-1) para isolar os diferenciais:
2(y-1)\,dy = (1-2x)\,dx.

Passo 3

Integração de ambos os lados (passo a passo das integrais):
  • Integramos cada lado em relação à sua variável.
  • Para o lado esquerdo, calculamos
\int 2(y-1)\,dy = 2\int (y-1)\,dy.
Sabendo que \int (y-1)\,dy = \tfrac{1}{2}(y-1)^2, multiplicando por 2 obtemos
\int 2(y-1)\,dy = (y-1)^2.
  • Para o lado direito,
\int (1-2x)\,dx = \int 1\,dx - 2\int x\,dx = x - x^2 + C,
onde C é a constante de integração.
  • Igualando as integrais obtemos a relação
(y-1)^2 = x - x^2 + C.

Passo 4

Determinação da constante usando a condição inicial:
  • Aplicamos y(0)=0 em (y-1)^2 = x - x^2 + C:
(0-1)^2 = 0 - 0 + C \quad\Rightarrow\quad 1 = C.
  • Logo a relação fica
(y-1)^2 = x - x^2 + 1 = 1 + x - x^2.

Passo 5

Resolver para y e escolher a ramo correto (explicando a escolha):
  • Tomando raiz quadrada de ambos os lados,
y-1 = \pm\sqrt{\,1 + x - x^2\,},
ou seja
y = 1 \pm \sqrt{\,1 + x - x^2\,}.
  • Há duas possíveis soluções (ramificações) por causa do \pm. Para decidir qual usar, aplicamos a condição inicial y(0)=0.
  • Em x=0, a raiz vale \sqrt{1+0-0}=1. Assim as duas opções dão y(0)=1\pm1, ou seja y(0)=2 (para +) ou y(0)=0 (para -). Como queremos y(0)=0, escolhemos o sinal negativo.
  • Portanto a solução explícita que satisfaz o PVI é
y(x)=1-\sqrt{\,1 + x - x^2\,}.

Passo 6

Determinar o maior intervalo de validade: domínio da solução e comportamento nos extremos (explicação didática):
  • A função \sqrt{\,1 + x - x^2\,} está definida (no real) quando o radicando é não negativo:
1 + x - x^2 \ge 0.
  • Para achar onde isso ocorre, resolvemos a equação quadrática de fronteira
1 + x - x^2 = 0.
Reorganizando, x^2 - x - 1 = 0. As raízes são, pela fórmula de Bhaskara,
x = \dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} = \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Denotemos
x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\qquad x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
  • Como a parábola -x^2+x+1 é côncava para baixo, o radicando é positivo estritamente entre as raízes e zero nas raízes. Logo
1 + x - x^2 > 0 \quad\text{para}\quad x_1 < x < x_2,
e é igual a zero em x=x_1,x_2.

Passo 7

Verificar se podemos incluir as extremidades e concluir o maior intervalo (razão técnica):
  • Nos pontos x=x_1 ou x=x_2 temos 1 + x - x^2 = 0, então \sqrt{\,\cdot\,}=0 e a solução dá y=1.
  • Mas no lado direito da equação diferencial original a expressão é \dfrac{1-2x}{2(y-1)}. Se y=1 o denominador 2(y-1) é zero, tornando a expressão não definida, a menos que o numerador também fosse zero simultaneamente.
  • Avaliamos o numerador 1-2x nas raízes:
    • Para x=x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}, temos 1-2x_1 = 1 - (1-\sqrt{5}) = \sqrt{5}\neq 0.
    • Para x=x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, temos 1-2x_2 = 1 - (1+\sqrt{5}) = -\sqrt{5}\neq 0.
  • Como o numerador não é zero nesses pontos, a razão \dfrac{1-2x}{2(y-1)} diverge quando y\to1 nesses x. Portanto não podemos estender a solução de forma diferenciável até incluir as extremidades; elas devem ser excluídas.
  • O ponto inicial x=0 está estritamente entre x_1 e x_2, então o maior intervalo contendo 0 onde a solução é válida e diferenciável é
\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right).

Resposta

(a) y(x)=1-\sqrt{\,1+x-x^{2}\,}
(b) \displaystyle \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\;\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)

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