Resolva a equação diferencial
\left(x^{4} \mathrm{e}^{x y}+3 x y^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y x^{3} \mathrm{e}^{x y}-2 y^{3}\right) \mathrm{d} x=0, \quad x>0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{4} \mathrm{e}^{x y}+3 x y^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y x^{3} \mathrm{e}^{x y}-2 y^{3}\right) \mathrm{d} x=0,\quad x>0.
Pergunta-se (implicitamente): encontrar a solução geral (a família de curvas integrais) dessa equação diferencial.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação está escrita na forma de 1-forma com um termo multiplicando \mathrm{d}x e outro multiplicando \mathrm{d}y.
  • A condição x>0 foi dada (isso pode ser relevante se precisarmos de um fator integrante que envolva potências de x).
  • Não há condições iniciais; então queremos a solução implícita geral com constante arbitrária.

Passo 2

Organizamos a equação no formato padrão P(x,y)\,\mathrm{d}x + Q(x,y)\,\mathrm{d}y = 0. Identificamos:
P(x,y)=y x^{3} \mathrm{e}^{x y}-2 y^{3}, \qquad Q(x,y)=x^{4} \mathrm{e}^{x y}+3 x y^{2}.
Explicação didática (o que vamos usar): uma equação diferencial na forma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x = P e \partial \Phi/\partial y = Q. Uma condição prática de exatidão é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Se essa igualdade não ocorre, às vezes é possível encontrar um fator integrante \mu (função de x só, ou de y só, ou de ambos) tal que \mu P\,\mathrm{d}x+\mu Q\,\mathrm{d}y seja exata.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias para testar exatidão.
Derivada de P em relação a y:
\begin{aligned} \frac{\partial P}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y x^{3} e^{x y}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 y^{3}\bigr)\\[4pt] &= x^{3} e^{x y} + y x^{3} e^{x y}\cdot x - 6 y^{2}\\[4pt] &= x^{3} e^{x y} + x^{4} y e^{x y} - 6 y^{2}. \end{aligned}
Derivada de Q em relação a x:
\begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4} e^{x y}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3 x y^{2}\bigr)\\[4pt] &= 4 x^{3} e^{x y} + x^{4} e^{x y}\cdot y + 3 y^{2}\\[4pt] &= 4 x^{3} e^{x y} + x^{4} y e^{x y} + 3 y^{2}. \end{aligned}
Comparando, vemos que \partial P/\partial y \neq \partial Q/\partial x. Portanto a forma original não é exata.]

Passo 4

Procuramos um fator integrante do tipo \mu(x) (função só de x). Há um teste prático: se
\frac{\partial P/\partial y - \partial Q/\partial x}{Q}
é função só de x, então existe \mu(x) e ela satisfaz
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{\partial P/\partial y - \partial Q/\partial x}{Q}.
Vou calcular essa expressão e verificar se depende somente de x.

Passo 5

Calculamos o numerador \partial P/\partial y - \partial Q/\partial x:
\begin{aligned} \frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x} &= \bigl(x^{3} e^{x y} + x^{4} y e^{x y} - 6 y^{2}\bigr) - \bigl(4 x^{3} e^{x y} + x^{4} y e^{x y} + 3 y^{2}\bigr)\\[4pt] &= -3 x^{3} e^{x y} -9 y^{2}\\[4pt] &= -3\bigl(x^{3} e^{x y} + 3 y^{2}\bigr). \end{aligned}
Agora dividimos por Q:
\begin{aligned} \frac{\partial P/\partial y - \partial Q/\partial x}{Q} &= \frac{-3\bigl(x^{3} e^{x y} + 3 y^{2}\bigr)}{x^{4} e^{x y} + 3 x y^{2}}\\[4pt] &= \frac{-3\bigl(x^{3} e^{x y} + 3 y^{2}\bigr)}{x\bigl(x^{3} e^{x y} + 3 y^{2}\bigr)}\\[4pt] &= -\frac{3}{x}. \end{aligned}
Ótimo: essa expressão depende só de x. Logo existe um fator integrante \mu(x) e ele satisfaz
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=-\frac{3}{x}.
Integrando ambos os lados:
\ln \mu(x)=\int -\frac{3}{x}\,\mathrm{d}x = -3\ln x + \text{const}.
Tomando a exponencial e absorvendo constante multiplicativa na constante geral, obtemos
\mu(x)=x^{-3}.
Observação: a hipótese x>0 garante que \ln x e x^{-3} estão bem definidos sem problema de sinal.]

Passo 6

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-3}. Assim obtemos a nova equação exata
\bigl(\underbrace{y e^{x y}-2 x^{-3} y^{3}}_{P_{\text{new}}}\bigr)\mathrm{d}x +\bigl(\underbrace{x e^{x y}+3 x^{-2} y^{2}}_{Q_{\text{new}}}\bigr)\mathrm{d}y=0.
Para confirmar a exatidão, calculamos as derivadas parciais:
Derivada de P_{\text{new}} em relação a y:
\frac{\partial P_{\text{new}}}{\partial y} = e^{x y} + x y e^{x y} -6 x^{-3} y^{2}.
Derivada de Q_{\text{new}} em relação a x:
\frac{\partial Q_{\text{new}}}{\partial x} = e^{x y} + x y e^{x y} -6 x^{-3} y^{2}.
As derivadas coincidem, portanto a forma é exata após multiplicar por x^{-3}.

Passo 7

Agora existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=P_{\text{new}}=y e^{x y}-2 x^{-3} y^{3}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q_{\text{new}}=x e^{x y}+3 x^{-2} y^{2}.
Integramos \partial \Phi/\partial x em relação a x, tratando y como constante:
\begin{aligned} \Phi(x,y) &= \int \bigl(y e^{x y}-2 x^{-3} y^{3}\bigr)\,\mathrm{d}x\\[4pt] &= y\int e^{x y}\,\mathrm{d}x -2 y^{3}\int x^{-3}\,\mathrm{d}x. \end{aligned}
Cálculos das primitivas:
\int e^{x y}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{y} e^{x y}\quad (\text{pois }y\text{ é constante}), \qquad \int x^{-3}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}x^{-2}.é
Substituindo:
\Phi(x,y) = y\cdot\frac{1}{y} e^{x y} -2 y^{3}\cdot\Bigl(-\frac{1}{2}x^{-2}\Bigr) + h(y) = e^{x y} + y^{3} x^{-2} + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração relativa a x).]

Passo 8

Determinamos h(y) exigindo \partial \Phi/\partial y = Q_{\text{new}}. Calculamos:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3} x^{-2}\bigr) + h'(y) = x e^{x y} + 3 x^{-2} y^{2} + h'(y).
Comparando com Q_{\text{new}}=x e^{x y}+3 x^{-2} y^{2}, obtemos h'(y)=0. Logo h(y) é constante, que chamamos de C.
Portanto a função potencial (até constante) é
\Phi(x,y)=e^{x y} + \frac{y^{3}}{x^{2}} + C.

Passo 9

A solução implícita geral da equação diferencial (após multiplicar pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=\text{const},
ou seja
e^{x y} + \frac{y^{3}}{x^{2}} = C,
onde C é constante arbitrária. Como trabalhamos com x>0, não há problema com x^{-2}.

Resposta

e^{x y}+\frac{y^{3}}{x^{2}}=C

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