Obtenha a solução explícita para as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
com a condição inicial
A tarefa é obter a solução explícita
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos escolher um método adequado. A equação está na forma de uma equação linear de primeira ordem (não é preciso decorar nada complicado: basta ver que aparece
e
em primeira potência, sem produtos
nem derivadas de ordem maior). Para equações lineares de primeira ordem usamos o fator integrante (também chamado fator de integração). Escrevendo a equação no formato padrão
identificamos em nossa equação
O fator integrante é definido por
Vou explicar e aplicar isso no passo seguinte.
Passo 3
Calculemos o fator integrante
. Temos
portanto
Comentário didático curto: multiplicando a equação original por
transformamos o lado esquerdo em uma derivada total
. Vou mostrar isso explicitamente no próximo passo.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora observe que a derivada de
é
logo o lado esquerdo acima é exatamente a derivada do produto
:
Passo 5
Simplificamos o lado direito usando as propriedades dos expoentes:
Aqui usamos que
é o mesmo que
, logo
. Assim o lado direito reduz-se a
Portanto a equação após multiplicar pelo fator integrante fica
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
. À esquerda a integral da derivada dá simplesmente o produto
. À direita precisamos calcular
Um jeito rápido: reconhecer que a derivada de
é
. Assim
onde
é a constante de integração.
Logo temos
Passo 7
Isolando
, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos escrever de forma mais compacta:
Aqui
é a constante arbitrária determinada pela condição inicial.
Passo 8
Use a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
:
Como
, obtemos
Passo 9
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular pedida:
Opcionalmente, fatorando
: