Obtenha a solução explícita para as seguintes equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\cos x \cdot y=x \mathrm{e}^{x^{2}+\operatorname{sen} x} \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\cos x\cdot y = x\,\mathrm{e}^{x^{2}+\operatorname{sen} x},
com a condição inicial
y(0)=2.
A tarefa é obter a solução explícita y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos escolher um método adequado. A equação está na forma de uma equação linear de primeira ordem (não é preciso decorar nada complicado: basta ver que aparece y' e y em primeira potência, sem produtos y\cdot y nem derivadas de ordem maior). Para equações lineares de primeira ordem usamos o fator integrante (também chamado fator de integração). Escrevendo a equação no formato padrão
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)\,y = Q(x),
identificamos em nossa equação
P(x) = -\cos x,\qquad Q(x)=x\,\mathrm{e}^{x^{2}+\operatorname{sen} x}.
O fator integrante é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,\mathrm{d}x\Big).
Vou explicar e aplicar isso no passo seguinte.

Passo 3

Calculemos o fator integrante \mu(x). Temos
\int P(x)\,\mathrm{d}x = \int (-\cos x)\,\mathrm{d}x = -\sin x,
portanto
\mu(x) = \mathrm{e}^{-\sin x}.
Comentário didático curto: multiplicando a equação original por \mu(x) transformamos o lado esquerdo em uma derivada total \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\mu(x)\,y\big). Vou mostrar isso explicitamente no próximo passo.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\mathrm{e}^{-\sin x}:
\mathrm{e}^{-\sin x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \cos x\,\mathrm{e}^{-\sin x}y = x\,\mathrm{e}^{-\sin x}\mathrm{e}^{x^{2}+\operatorname{sen} x}.
Agora observe que a derivada de \mu(x) é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\mathrm{e}^{-\sin x}\big) = -\cos x\,\mathrm{e}^{-\sin x},
logo o lado esquerdo acima é exatamente a derivada do produto \mu(x)\,y:
\mathrm{e}^{-\sin x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \cos x\,\mathrm{e}^{-\sin x}y = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\mathrm{e}^{-\sin x}y\big).

Passo 5

Simplificamos o lado direito usando as propriedades dos expoentes:
x\,\mathrm{e}^{-\sin x}\mathrm{e}^{x^{2}+\operatorname{sen} x} = x\,\mathrm{e}^{x^{2}+(\operatorname{sen} x - \sin x)}.
Aqui usamos que \operatorname{sen} x é o mesmo que \sin x, logo \operatorname{sen} x - \sin x = 0. Assim o lado direito reduz-se a
x\,\mathrm{e}^{x^{2}}.
Portanto a equação após multiplicar pelo fator integrante fica
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\mathrm{e}^{-\sin x}y\big) = x\,\mathrm{e}^{x^{2}}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x. À esquerda a integral da derivada dá simplesmente o produto \mathrm{e}^{-\sin x}y. À direita precisamos calcular
\int x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Um jeito rápido: reconhecer que a derivada de \mathrm{e}^{x^{2}} é 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}. Assim
\int x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}} + C,
onde C é a constante de integração.
Logo temos
\mathrm{e}^{-\sin x}y = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}} + C.

Passo 7

Isolando y, multiplicamos ambos os lados por \mathrm{e}^{\sin x}:
y(x) = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}}\mathrm{e}^{\sin x} + C\,\mathrm{e}^{\sin x}.
Podemos escrever de forma mais compacta:
y(x) = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}+\sin x} + C\,\mathrm{e}^{\sin x}.
Aqui C é a constante arbitrária determinada pela condição inicial.

Passo 8

Use a condição inicial y(0)=2 para encontrar C. Substituindo x=0:
y(0)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{0^{2}+\sin 0} + C\,\mathrm{e}^{\sin 0} = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{0} + C\,\mathrm{e}^{0} = \frac{1}{2} + C.
Como y(0)=2, obtemos
\frac{1}{2} + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C = \frac{3}{2}.

Passo 9

Substituindo C=\tfrac{3}{2} na solução geral obtemos a solução particular pedida:
y(x) = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}+\sin x} + \frac{3}{2}\mathrm{e}^{\sin x}.
Opcionalmente, fatorando \tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\sin x}:
y(x) = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{\sin x}\big(\mathrm{e}^{x^{2}} + 3\big).

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}+\sin x}+\frac{3}{2}\mathrm{e}^{\sin x}

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