Seja
Responda sobre
.
(a) (0.25) Exiba o maior domínio, em
, onde a função
pode ser definida.
(b) (0.25) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
(c) (0.5) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
(d) (0.25) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
(e) (0.25) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
(f) (0.25) Ponto(s) inflexão, se existirem,
(g) (0.25) Assíntota(s), se existirem,
(h) (1.0) Construa o gráfico de
usando as informações obtidas nos itens anteriores.
(a) (0.25) Exiba o maior domínio, em
(b) (0.25) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
(c) (0.5) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
(d) (0.25) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
(e) (0.25) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
(f) (0.25) Ponto(s) inflexão, se existirem,
(g) (0.25) Assíntota(s), se existirem,
(h) (1.0) Construa o gráfico de
Passo 1
Temos a função
O enunciado pede, em sequência:
(a) o maior domínio em onde
está definida;
(b) os pontos críticos, se existirem;
(c) intervalos de crescimento e decrescimento;
(d) pontos máximos e/ou mínimos;
(e) intervalos de concavidade para cima e para baixo;
(f) ponto(s) de inflexão;
(g) assíntotas, se existirem;
(h) construir o gráfico de usando as informações anteriores.
As informações dadas: a fórmula explícita de . Nada mais foi fornecido (sem figura). Vou resolver passo a passo, explicando cada conceito usado.
(a) o maior domínio em
(b) os pontos críticos, se existirem;
(c) intervalos de crescimento e decrescimento;
(d) pontos máximos e/ou mínimos;
(e) intervalos de concavidade para cima e para baixo;
(f) ponto(s) de inflexão;
(g) assíntotas, se existirem;
(h) construir o gráfico de
As informações dadas: a fórmula explícita de
Passo 2
Domínio. Para funções racionais
o domínio em
são todos os
tais que
. Aqui
. Note que
logo
nunca se anula em
. Portanto o maior domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Derivada primeira (procura de pontos críticos e monotonicidade). Vou aplicar a regra do quociente. Se
e
, então
e
. Pela regra do quociente,
Substituindo:
Faço a álgebra do numerador com calma:
então
Portanto
Observações importantes: o denominador
é sempre positivo, nunca nulo para
.
Passo 4
Pontos críticos. Definição prática: pontos críticos são
do domínio onde
ou
não está definida. Aqui
está definida para todo
(pois denominador nunca zero), então só resolvemos
. Igualando a zero:
Logo existe um único ponto crítico
. Calculo o valor da função nele:
Portanto o ponto crítico é
.
Passo 5
Monotonicidade — uso do sinal de
. Como
para todo
, o sinal de
coincide com o sinal de
. Como
é negativo, o sinal de
é o contrário do sinal de
:
- Para
: é negativo, então e . Ou seja, é crescente em . - Para
: é positivo, então e . Ou seja, é decrescente em .
Pelo teste da primeira derivada, como
muda de positiva para negativa ao passar por
,
tem um máximo local (e neste caso global, veremos) em
com valor
.
Passo 6
Extremos globais / mínimos. Para ver se o máximo local em
é também máximo global, observo um truque de álgebra para entender os valores que
pode tomar:
Isto é útil porque
para todo
. Assim
sempre, e o termo
atinge seu máximo quando
é mínimo, isto é
. Em
esse termo vale
, então
. Portanto
com o valor máximo
atingido em
. O ínfimo é
mas não é atingido (é limite quando
). Conclusão: existe máximo global em
e não existe mínimo global (apenas infimum
).
Passo 7
Derivada segunda e concavidade. Vou derivar
usando produto e regra da cadeia. Seja
e
. Então
. Para
,
Aplicando produto:
Faço a simplificação combinando em denominador comum
:
No numerador:
Factorizando
:
Passo 8
Pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Para encontrar mudança de concavidade resolvo
. Como denominador nunca nulo, basta zerar o numerador:
Agora analiso o sinal de
(denominador sempre positivo):
- Se
(isto é ), então : concavidade para baixo. - Se
(isto é ), então : concavidade para cima.
Calculo o valor de
nesses pontos de inflexão usando
:
Portanto os pontos de inflexão são
Passo 9
Resumo das concavidades e confirmação de mudança de sinal em
. Resumo:
- Concavidade para baixo em
. - Concavidade para cima em
.
Os pontossão de fato pontos de inflexão pois muda de sinal ao atravessá-los.
Passo 10
Assíntotas. Primeiro, assíntotas verticais aparecem onde o denominador da forma racional é zero (e o numerador não anula de forma a cancelar), mas aqui
para todo
. Logo não há assíntotas verticais.
Para assíntotas horizontais, calculo o limite quando
. Como numerador e denominador são quadráticos de mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes dominantes:
Também é útil a forma já usada:
mostrando que
termo positivo que tende a
. Assim existe a assíntota horizontal
Verifico ainda que
nunca acontece para
real: resolver
leva a
, contradição. Portanto a curva aproxima
por cima (sempre
) e não a intercepta. Não há assíntota oblíqua (já que há assíntota horizontal).
Passo 11
Interceptos e pontos notáveis para o gráfico. Interceptos com eixo
: zeros da função, solução de
→
. Então pontos
. Intercepto com eixo
:
→
. Máximo em
. Pontos de inflexão em
(aproximadamente
). Assíntota horizontal
. A função é par (mesma dependência de
), ou seja, simétrica em relação ao eixo
.
Com esses dados podemos esboçar o gráfico mentalmente e desenhá-lo: curve sobe (concavidade para cima) para
aproximando
por cima, depois em
é côncava para cima, cruza em
, depois muda para côncava para baixo em
, sobe e atinge o máximo
, depois simetricamente desce passando por
e tende para
por cima quando
. Pontos e comportamentos chave:
. Isso já é suficiente para desenhar um esboço correto.
Resposta
(a)
(b) ponto crítico: , com
(ou seja o ponto
).
(c) é crescente em
e decrescente em
.
(d) máximo global em ; não existe mínimo global (infimum
não alcançado).
(e) concavidade para baixo em ; concavidade para cima em
(f) pontos de inflexão em
(g) assíntota horizontal ; sem assíntotas verticais e sem assíntota oblíqua.
(h) gráfico: função par (simétrica em ), zeros em
, máximo em
, pontos de inflexão em
, tende para
por cima quando
. (Esses pontos e intervalos permitem esboçar a curva: cresce em
, decresce em
, com a forma descrita.)
(b) ponto crítico:
(c)
(d) máximo global em
(e) concavidade para baixo em
(f) pontos de inflexão em
(g) assíntota horizontal
(h) gráfico: função par (simétrica em