Seja
f(x)=\frac{-x^{2}+16}{x^{2}+16}
Responda sobre f.
(a) (0.25) Exiba o maior domínio, em \mathbb{R}, onde a função f(x) pode ser definida.
(b) (0.25) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
(c) (0.5) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
(d) (0.25) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
(e) (0.25) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
(f) (0.25) Ponto(s) inflexão, se existirem,
(g) (0.25) Assíntota(s), se existirem,
(h) (1.0) Construa o gráfico de f(x) usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

Temos a função
f(x)=\frac{-x^{2}+16}{x^{2}+16}.
O enunciado pede, em sequência:
(a) o maior domínio em \mathbb{R} onde f está definida;
(b) os pontos críticos, se existirem;
(c) intervalos de crescimento e decrescimento;
(d) pontos máximos e/ou mínimos;
(e) intervalos de concavidade para cima e para baixo;
(f) ponto(s) de inflexão;
(g) assíntotas, se existirem;
(h) construir o gráfico de f(x) usando as informações anteriores.
As informações dadas: a fórmula explícita de f(x). Nada mais foi fornecido (sem figura). Vou resolver passo a passo, explicando cada conceito usado.

Passo 2

Domínio. Para funções racionais \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} o domínio em \mathbb{R} são todos os x tais que v(x)\neq0. Aqui v(x)=x^{2}+16. Note que
x^{2}+16\ge 16>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
logo x^{2}+16 nunca se anula em \mathbb{R}. Portanto o maior domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Derivada primeira (procura de pontos críticos e monotonicidade). Vou aplicar a regra do quociente. Se u(x)=-x^{2}+16 e v(x)=x^{2}+16, então u'(x)=-2x e v'(x)=2x. Pela regra do quociente,
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{(-2x)(x^{2}+16)-(-x^{2}+16)(2x)}{(x^{2}+16)^{2}}.
Faço a álgebra do numerador com calma:
(-2x)(x^{2}+16)= -2x^{3}-32x,
(-x^{2}+16)(2x)= -2x^{3}+32x,
então
\text{num}=-2x^{3}-32x -(-2x^{3}+32x) = -2x^{3}-32x +2x^{3}-32x = -64x.
Portanto
\boxed{f'(x)=\frac{-64x}{(x^{2}+16)^{2}}.}
Observações importantes: o denominador (x^{2}+16)^{2} é sempre positivo, nunca nulo para x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Pontos críticos. Definição prática: pontos críticos são x do domínio onde f'(x)=0 ou f' não está definida. Aqui f' está definida para todo x (pois denominador nunca zero), então só resolvemos f'(x)=0. Igualando a zero:
\frac{-64x}{(x^{2}+16)^{2}}=0 \iff -64x=0 \iff x=0.
Logo existe um único ponto crítico x=0. Calculo o valor da função nele:
f(0)=\frac{-0^{2}+16}{0^{2}+16}=\frac{16}{16}=1.
Portanto o ponto crítico é \big(0,1\big).

Passo 5

Monotonicidade — uso do sinal de f'(x). Como (x^{2}+16)^{2}>0 para todo x, o sinal de f'(x) coincide com o sinal de -64x. Como -64 é negativo, o sinal de f'(x) é o contrário do sinal de x:
  • Para x<0: x é negativo, então -64x>0 e f'(x)>0. Ou seja, f é crescente em (-\infty,0).
  • Para x>0: x é positivo, então -64x<0 e f'(x)<0. Ou seja, f é decrescente em (0,\infty).
Pelo teste da primeira derivada, como f' muda de positiva para negativa ao passar por x=0, f tem um máximo local (e neste caso global, veremos) em x=0 com valor f(0)=1.

Passo 6

Extremos globais / mínimos. Para ver se o máximo local em x=0 é também máximo global, observo um truque de álgebra para entender os valores que f pode tomar:
f(x)=\frac{-x^{2}+16}{x^{2}+16} = -1 + \frac{32}{x^{2}+16}.
Isto é útil porque \dfrac{32}{x^{2}+16}>0 para todo x. Assim f(x)>-1 sempre, e o termo \dfrac{32}{x^{2}+16} atinge seu máximo quando x^{2} é mínimo, isto é x=0. Em x=0 esse termo vale \dfrac{32}{16}=2, então f(0)=-1+2=1. Portanto
-1<f(x)\le 1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
com o valor máximo 1 atingido em x=0. O ínfimo é -1 mas não é atingido (é limite quando |x|\to\infty). Conclusão: existe máximo global em \big(0,1\big) e não existe mínimo global (apenas infimum -1).

Passo 7

Derivada segunda e concavidade. Vou derivar f'(x)= -64x (x^{2}+16)^{-2} usando produto e regra da cadeia. Seja g(x)=-64x e h(x)=(x^{2}+16)^{-2}. Então g'(x)=-64. Para h,
h'(x)=-2(x^{2}+16)^{-3}\cdot 2x = -4x(x^{2}+16)^{-3}.
Aplicando produto:
f''(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) = -64(x^{2}+16)^{-2} + (-64x)\big(-4x(x^{2}+16)^{-3}\big).
Faço a simplificação combinando em denominador comum (x^{2}+16)^{3}:
f''(x)=\frac{-64(x^{2}+16) +256x^{2}}{(x^{2}+16)^{3}}.
No numerador:
-64(x^{2}+16)+256x^{2} = -64x^{2}-1024+256x^{2}=192x^{2}-1024.
Factorizando 64:
\boxed{f''(x)=\frac{64(3x^{2}-16)}{(x^{2}+16)^{3}}.}

Passo 8

Pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Para encontrar mudança de concavidade resolvo f''(x)=0. Como denominador nunca nulo, basta zerar o numerador:
3x^{2}-16=0 \iff x^{2}=\frac{16}{3} \iff x=\pm\frac{4}{\sqrt{3}} = \pm\frac{4\sqrt{3}}{3}.
Agora analiso o sinal de f''(x) (denominador sempre positivo):
  • Se 3x^{2}-16<0 (isto é |x|<\tfrac{4}{\sqrt{3}}), então f''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Se 3x^{2}-16>0 (isto é |x|>\tfrac{4}{\sqrt{3}}), então f''(x)>0: concavidade para cima.
Calculo o valor de f nesses pontos de inflexão usando x^{2}=16/3:
f\!\left(\pm\frac{4}{\sqrt{3}}\right)=\frac{16-\frac{16}{3}}{\frac{16}{3}+16}=\frac{\frac{32}{3}}{\frac{64}{3}}=\frac{1}{2}.
Portanto os pontos de inflexão são
\boxed{\left(\pm\frac{4}{\sqrt{3}},\;\frac{1}{2}\right).}

Passo 9

Resumo das concavidades e confirmação de mudança de sinal em f''. Resumo:
  • Concavidade para baixo em \displaystyle\left(-\frac{4}{\sqrt{3}},\frac{4}{\sqrt{3}}\right).
  • Concavidade para cima em \displaystyle(-\infty,-\frac{4}{\sqrt{3}})\cup\left(\frac{4}{\sqrt{3}},\infty\right).
    Os pontos \pm\frac{4}{\sqrt{3}} são de fato pontos de inflexão pois f'' muda de sinal ao atravessá-los.

Passo 10

Assíntotas. Primeiro, assíntotas verticais aparecem onde o denominador da forma racional é zero (e o numerador não anula de forma a cancelar), mas aqui x^{2}+16\neq0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo não há assíntotas verticais.
Para assíntotas horizontais, calculo o limite quando |x|\to\infty. Como numerador e denominador são quadráticos de mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes dominantes:
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-x^{2}+16}{x^{2}+16}=-1.
Também é útil a forma já usada:
f(x)=-1+\frac{32}{x^{2}+16},
mostrando que f(x)=-1+ termo positivo que tende a 0. Assim existe a assíntota horizontal
\boxed{y=-1.}
Verifico ainda que f(x)=-1 nunca acontece para x real: resolver f(x)=-1 leva a 16=-16, contradição. Portanto a curva aproxima y=-1 por cima (sempre f(x)>-1) e não a intercepta. Não há assíntota oblíqua (já que há assíntota horizontal).

Passo 11

Interceptos e pontos notáveis para o gráfico. Interceptos com eixo x: zeros da função, solução de -x^{2}+16=0 x=\pm4. Então pontos (\pm4,0). Intercepto com eixo y: f(0)=1 (0,1). Máximo em (0,1). Pontos de inflexão em \left(\pm\tfrac{4}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{2}\right) (aproximadamente \pm 2{,}309,\;0{,}5). Assíntota horizontal y=-1. A função é par (mesma dependência de x^{2}), ou seja, simétrica em relação ao eixo y.
Com esses dados podemos esboçar o gráfico mentalmente e desenhá-lo: curve sobe (concavidade para cima) para x\to -\infty aproximando y=-1 por cima, depois em (-\infty,-\tfrac{4}{\sqrt{3}}) é côncava para cima, cruza em (-4,0), depois muda para côncava para baixo em (-\tfrac{4}{\sqrt{3}},\tfrac{4}{\sqrt{3}}), sobe e atinge o máximo (0,1), depois simetricamente desce passando por (4,0) e tende para y=-1 por cima quando x\to\infty. Pontos e comportamentos chave: (-∞,-1^{+}), (-4,0), (-\tfrac{4}{\sqrt{3}},\tfrac12), (0,1), (\tfrac{4}{\sqrt{3}},\tfrac12), (4,0), (+∞,-1^{+}). Isso já é suficiente para desenhar um esboço correto.

Resposta

(a) \text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
(b) ponto crítico: x=0, com f(0)=1 (ou seja o ponto (0,1)).
(c) f é crescente em (-\infty,0) e decrescente em (0,\infty).
(d) máximo global em (0,1); não existe mínimo global (infimum -1 não alcançado).
(e) concavidade para baixo em \displaystyle\left(-\frac{4}{\sqrt{3}},\frac{4}{\sqrt{3}}\right); concavidade para cima em \displaystyle(-\infty,-\frac{4}{\sqrt{3}})\cup\left(\frac{4}{\sqrt{3}},\infty\right).
(f) pontos de inflexão em \displaystyle\left(\pm\frac{4}{\sqrt{3}},\frac{1}{2}\right).
(g) assíntota horizontal y=-1; sem assíntotas verticais e sem assíntota oblíqua.
(h) gráfico: função par (simétrica em y), zeros em (\pm4,0), máximo em (0,1), pontos de inflexão em \left(\pm\tfrac{4}{\sqrt{3}},\tfrac12\right), tende para y=-1 por cima quando x\to\pm\infty. (Esses pontos e intervalos permitem esboçar a curva: cresce em (-\infty,0), decresce em (0,\infty), com a forma descrita.)

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