Considere a seguinte equação diferencial em que m é uma constante real:
10 x y+63 y+(x^2+7 x) y^prime=0
Note que essa equação diferencial náo é exata. Porém, podemos multiplicá-la por um mesmo fator mu(x)=x^m, nos dois membros, de modo a torná-la exata.
10 x^m+1 y+63 x^m y+(x^m+2+7 x^m+1) y^prime=0
Determine o valor de m que torna exata a equação;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial que inicialmente não é exata. O objetivo é encontrar um valor para a constante que, ao multiplicarmos a equação por , torne a equação exata. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de equações diferenciais exatas e como identificar o fator integrante que as torna exatas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação diferencial original:
10 x y + 63 y + (x^2 + 7 x) y^prime = 0
E depois multiplicá-la pelo fator 10 x^m+1 y + 63 x^m y + (x^m+2 + 7 x^m+1) y^prime = 0 :
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Para que uma equação diferencial da forma partial Ppartial y = partial Qpartial x seja exata, a condição necessária é que:
P = 10 x^m+1 y + 63 x^m y
Vamos identificar Q = x^m+2 + 7 x^m+1 e na nossa equação multiplicada:

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y = 10 x^m+1 + 63 x^m
partial Qpartial x = (m+2) x^m+1 + 7(m+1) x^m

Passo 5

Para que a equação seja exata, igualamos as duas derivadas parciais:
10 x^m+1 + 63 x^m = (m+2) x^m+1 + 7(m+1) x^m
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 10 x + 63 = (m+2) x + 7(m+1) (assumindo que ):

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
10 x + 63 - (m+2) x - 7(m+1) = 0
Simplificando:
(10 - m - 2) x + (63 - 7m - 7) = 0
(8 - m) x + (56 - 7m) = 0

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de 8 - m = 0 e 56 - 7m = 0 , os coeficientes de m = 8 e os termos constantes devem ser iguais a zero:
56 - 7(8) = 56 - 56 = 0
Resolvendo a primeira equação:
Verificando na segunda equação:

Resposta

O valor de que torna a equação diferencial exata é .

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