Considere a seguinte equação diferencial em que
é uma constante real:
Note que essa equação diferencial náo é exata. Porém, podemos multiplicá-la por um mesmo fator
, nos dois membros, de modo a torná-la exata.
Determine o valor de
que torna exata a equação;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial que inicialmente não é exata. O objetivo é encontrar um valor para a constante
que, ao multiplicarmos a equação por
, torne a equação exata. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de equações diferenciais exatas e como identificar o fator integrante que as torna exatas.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a equação diferencial original:
E depois multiplicá-la pelo fator
:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Para que uma equação diferencial da forma
seja exata, a condição necessária é que:
Vamos identificar
e
na nossa equação multiplicada:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Para que a equação seja exata, igualamos as duas derivadas parciais:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo que
):
Passo 6
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais a zero:
Resolvendo a primeira equação:
Verificando na segunda equação:
Resposta
O valor de
que torna a equação diferencial exata é
.