Considere a seguinte equação diferencial em que a é uma constante real:
y+8 x+(a y^3+x) y^prime=0
A partir do valor de a obtido, determine a soluçảo implícita da equaçảo que satistaz y(1)=4.
?=?

Passo 1

A gente tem a equação diferencial
y + 8x + (a y^3 + x) y' = 0
onde a é constante real. O conteúdo aqui é equação exata, pois podemos escrever na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e buscar uma função potencial cuja derivada total zere essa combinação.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y + 8x,
N(x,y) = a y^3 + x
Para checar exatidão, calculamos
partial Mpartial y = 1,
partial Npartial x = 1
Como são iguais, a equação é exata (e não impõe restrição sobre a).

Passo 3

Para encontrar a função potencial psi(x,y) tal que
dpsi = M,dx + N,dy,
integrarmos M em relação a x:
$$
\psi(x,y) = \int (y + 8x),dx = xy + 4x^2 + h(y),
$$
onde psi(x,y) = integral (y + 8x),dx = xy + 4x^2 + h(y), é função de h(y) a determinar.

Passo 4

Derivamos psi em relação a y e igualamos a N:
partialpsipartial y = x + h'(y) = a y^3 + x
Logo
h'(y) = a y^3 implies h(y) = a4y^4

Passo 5

Assim a solução implícita geral é
psi(x,y) = xy + 4x^2 + a4y^4 = C

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(1)=4, temos
C = 1cdot4 + 4cdot1^2 + a4,4^4 = 4 + 4 + 64a = 8 + 64a

Passo 7

Portanto, a solução implícita que satisfaz y(1)=4 é dada por:

Passo 8

x y + 4x^2 + a4y^4 = 8 + 64a

Resposta

x y + 4x^2 + a4y^4 = 8 + 64a

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