Considere a seguinte equação diferencial em que
é uma constante real:
A partir do valor de
obtido, determine a soluçảo implícita da equaçảo que satistaz
.
Passo 1
A gente tem a equação diferencial
onde a é constante real. O conteúdo aqui é equação exata, pois podemos escrever na forma
e buscar uma função potencial cuja derivada total zere essa combinação.
Passo 2
Identificamos
Para checar exatidão, calculamos
Como são iguais, a equação é exata (e não impõe restrição sobre a).
Passo 3
Para encontrar a função potencial
tal que
integrarmos
$$
\psi(x,y) = \int (y + 8x),dx = xy + 4x^2 + h(y),
$$
onde é função de
a determinar.
onde
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
Passo 5
Assim a solução implícita geral é
Passo 6
Aplicando a condição inicial
, temos
Passo 7
Portanto, a solução implícita que satisfaz
é dada por: