Considere a seguinte equação diferencial em que
é uma constante real:
Determine o valor de a para que a equação seja exata;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que envolve
,
e uma constante
. A equação é:
O que a gente precisa fazer é encontrar o valor de
que faz essa equação ser exata. Equações exatas são aquelas que podemos resolver diretamente porque elas derivam de uma função potencial. Para isso, a gente vai precisar usar o conceito de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Para a equação ser exata, deve valer que:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Agora, calculando
:
Passo 6
Agora, igualamos as duas derivadas parciais para verificar a condição de exatidão:
O que significa que a condição de exatidão já está satisfeita para qualquer valor de
.
Resposta
Portanto, a equação é exata para qualquer valor real de
.