Considere a seguinte equação diferencial em que a é uma constante real:
y+8 x+(a y^3+x) y^prime=0
Determine o valor de a para que a equação seja exata;
a=
square

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que envolve y + 8x + (a y^3 + x) y' = 0 , e uma constante . A equação é:
O que a gente precisa fazer é encontrar o valor de que faz essa equação ser exata. Equações exatas são aquelas que podemos resolver diretamente porque elas derivam de uma função potencial. Para isso, a gente vai precisar usar o conceito de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
M(x, y) + N(x, y) y' = 0
Aqui, identificamos:
M(x, y) = y + 8x e N(x, y) = a y^3 + x

Passo 3

Para a equação ser exata, deve valer que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando M(x, y) = y + 8x implies partial Mpartial y = 1 :

Passo 5

Agora, calculando N(x, y) = a y^3 + x implies partial Npartial x = 1 :

Passo 6

Agora, igualamos as duas derivadas parciais para verificar a condição de exatidão:
partial Mpartial y = partial Npartial x implies 1 = 1
O que significa que a condição de exatidão já está satisfeita para qualquer valor de .

Resposta

Portanto, a equação é exata para qualquer valor real de a pode ser qualquer número real .
squareú

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