Considere a seguinte equação diferencial em que
é uma constante real:
Note que essa equação diferencial náo é exata. Porém, podemos multiplicá-la por um mesmo fator
, nos dois membros, de modo a torná-la exata.
Determine a soluçảo implícita da equaçảo que satistaz
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial que não é exata inicialmente. Nosso objetivo é torná-la exata multiplicando por um fator integrante da forma
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como encontrar o fator integrante quando a equação não é exata inicialmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é exata se existe uma função potencial
tal que:
Isso significa que podemos integrar para encontrar a solução
.
Passo 3
No nosso caso, a equação inicial é:
Identificando
e
. Para que a equação seja exata, a condição:
deve ser satisfeita. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Claramente,
, então a equação não é exata.
Passo 5
Para tornar a equação exata, multiplicamos ambos os lados por um fator integrante
. A equação multiplicada fica:
Agora, precisamos encontrar o valor de
que torna esta nova equação exata.
Passo 6
Aplicando a condição de exatidão na equação multiplicada:
Onde
e
. Calculamos as derivadas:
Igualando as duas derivadas:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Confirmamos que
satisfaz ambas as equações.
Passo 8
Com
, o fator integrante é
. Multiplicando a equação original por
, temos:
Agora, a equação é exata, e podemos encontrar a solução.
Passo 9
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 10
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
multiplicado pelo fator integrante:
Comparando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Portanto, a função potencial é:
Simplificando:
Esta é a solução implícita da equação diferencial.
Passo 12
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial que satisfaz
é: