Considere a seguinte equação diferencial em que m é uma constante real:
10 x y+63 y+(x^2+7 x) y^prime=0
Note que essa equação diferencial náo é exata. Porém, podemos multiplicá-la por um mesmo fator mu(x)=x^m, nos dois membros, de modo a torná-la exata.
10 x^m+1 y+63 x^m y+(x^m+2+7 x^m+1) y^prime=0
Determine a soluçảo implícita da equaçảo que satistaz y(1)=-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial que não é exata inicialmente. Nosso objetivo é torná-la exata multiplicando por um fator integrante da forma mu(x) = x^m. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como encontrar o fator integrante quando a equação não é exata inicialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
M(x, y) + N(x, y) y' = 0
é exata se existe uma função potencial Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = M e partial Psipartial y = N
Isso significa que podemos integrar para encontrar a solução Psi(x, y) = C.

Passo 3

No nosso caso, a equação inicial é:
10 x y + 63 y + (x^2 + 7 x) y' = 0
Identificando M(x, y) = 10x y + 63 y e N(x, y) = x^2 + 7x. Para que a equação seja exata, a condição:
partial Mpartial y = partial Npartial x
deve ser satisfeita. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 10x + 63
partial Npartial x = 2x + 7
Claramente, partial Mpartial y neq partial Npartial x, então a equação não é exata.

Passo 5

Para tornar a equação exata, multiplicamos ambos os lados por um fator integrante mu(x) = x^m. A equação multiplicada fica:
10 x^m+1 y + 63 x^m y + (x^m+2 + 7 x^m+1) y' = 0
Agora, precisamos encontrar o valor de m que torna esta nova equação exata.

Passo 6

Aplicando a condição de exatidão na equação multiplicada:
partial (mu M)partial y = partial (mu N)partial x
Onde mu M = 10 x^m+1 y + 63 x^m y e mu N = x^m+2 + 7 x^m+1. Calculamos as derivadas:
partial (mu M)partial y = 10 x^m+1 + 63 x^m
partial (mu N)partial x = (m+2) x^m+1 + 7(m+1) x^m
Igualando as duas derivadas:
10 x^m+1 + 63 x^m = (m+2) x^m+1 + 7(m+1) x^m

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para x^m+1:
10 = m + 2 Rightarrow m = 8
Para x^m:
63 = 7(m + 1) Rightarrow 63 = 7(8 + 1) Rightarrow 63 = 63
Confirmamos que m = 8 satisfaz ambas as equações.

Passo 8

Com m = 8, o fator integrante é mu(x) = x^8. Multiplicando a equação original por x^8, temos:
10 x^9 y + 63 x^8 y + (x^10 + 7 x^9) y' = 0
Agora, a equação é exata, e podemos encontrar a solução.

Passo 9

Como a equação é exata, existe uma função potencial Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = 10 x^9 y + 63 x^8 y
Integrando em relação a x:
Psi(x, y) = integral (10 x^9 y + 63 x^8 y) dx = ( 1010 x^10 y + 639 x^9 y ) + g(y) = x^10 y + 7 x^9 y + g(y)
Onde g(y) é uma função de y.

Passo 10

Agora, derivamos Psi(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y) multiplicado pelo fator integrante:
partial Psipartial y = x^10 + 7 x^9 + g'(y) = x^10 + 7 x^9
Comparando, temos:
g'(y) = 0 Rightarrow g(y) = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 11

Portanto, a função potencial é:
Psi(x, y) = x^10 y + 7 x^9 y = C
Simplificando:
x^9 y (x + 7) = C
Esta é a solução implícita da equação diferencial.

Passo 12

Agora, aplicamos a condição inicial y(1) = -3 para encontrar a constante C:
1^9 cdot (-3) cdot (1 + 7) = C Rightarrow (-3) cdot 8 = C Rightarrow C = -24

Resposta

A solução implícita da equação diferencial que satisfaz y(1) = -3 é:
x^9 y (x + 7) = -24

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