Verifique que
integral 1raiz1-x^2 d x=arcsen x+k,-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a integral indefinida de 1/raiz1 - x^2 é arcsen x + k no intervalo -1. O conteúdo aqui é cálculo de integrais por substituição trigonométrica e também a definição de arco-seno.

Passo 2

Vamos usar a substituição trigonométrica x = sintheta, cuja ideia é que raiz1-x^2 se torne mais simples. Faça:
x = sintheta,
dx = costheta,dtheta,
raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta

Passo 3

Com esses elementos, reescrevemos a integral original:
integral 1raiz1 - x^2,dx = integral 1costheta,l(costheta,dthetar) = integral 1,dtheta = theta + k

Passo 4

Só resta voltar à variável x. Como definimos x = sintheta, temos theta = arcsen x. Portanto o resultado é dado por:

Resposta

arcsen x + k

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