Considere a seguinte equação diferencial
(a) Encontre a solução geral para a EDO.
(b) Determine a solução que passa pelo ponto
explicitando o seu intervalo de validade.
(c) Faça um esboço da solução do item anterior.
(b) Determine a solução que passa pelo ponto
(c) Faça um esboço da solução do item anterior.
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede: (a) solução geral; (b) a que passa por
e seu intervalo de validade; (c) um esboço dessa solução. Vamos reconhecer que é uma equação exata ao passar para a forma
identificar
e
, verificar a exatidão e encontrar a função potencial.
Passo 2
Escrevendo
logo
Passo 3
Verificamos exatidão:
são iguais, então é exata. Buscamos
tal que
integramos em
:
Depois
portanto
.
Passo 4
A solução implícita geral é
Passo 5
Para passar por
calculamos
Como
temos
logo
e assim
. A solução particular fica
Passo 6
O campo de vetores
é contínuo e Lipschitz em
sempre que
. O único ponto singular é
. Como a condição inicial
e
não atinge esse ponto, a solução existe e é única em todo o intervalo em que não se aproxima de
. Seguindo a curva implícita até onde ela toca
, verifica-se que isso acontece apenas em
. Portanto o máximo intervalo de validade contendo
é
Passo 7
Para esboçar a curva
observe:
– Em domina
, de onde
, decrescendo para zero.
– Há ponto de máximo em que , ou seja
; substituindo na implícita obtém-se
,
.
– A curva parte de , sobe até
, depois decresce passando por
e tende ao eixo
.
– Em
– Há ponto de máximo em que
– A curva parte de
Resposta
(a) A solução geral, implicitamente, é
(b) A solução que passa por
é
válida em
.
(c) O esboço é uma curva que sai de , atinge máximo em
, passa por
e decresce assintoticamente como
quando
.
(c) O esboço é uma curva que sai de