Considere a seguinte equação diferencial
d yd x=2-2 x y(y^2 / 3)+x^2
(a) Encontre a solução geral para a EDO.
(b) Determine a solução que passa pelo ponto (1+raiz83, 1) explicitando o seu intervalo de validade.
(c) Faça um esboço da solução do item anterior.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
dydx=2-2xyl(y^2/3r)+x^2
e pede: (a) solução geral; (b) a que passa por l(1+tfracraiz83,1r) e seu intervalo de validade; (c) um esboço dessa solução. Vamos reconhecer que é uma equação exata ao passar para a forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
identificar M e N, verificar a exatidão e encontrar a função potencial.

Passo 2

Escrevendo
dydx=2-2xyl(y^2/3r)+x^2 Longrightarrow l(y^2/3 + x^2r),dy + l(2xy-2r),dx=0,
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M(x,y)=2xy-2, N(x,y)=y^23+x^2

Passo 3

Verificamos exatidão:
partial Mpartial y=2x, partial Npartial x=2x,
são iguais, então é exata. Buscamos U(x,y) tal que
partial Upartial x=M=2xy-2,
integramos em x:
U(x,y)=integral(2xy-2),dx =x^2y-2x +h(y)
Depois
partial Upartial y=x^2+h'(y) stackrel!=N=y^23+x^2 Longrightarrow h'(y)=y^23,
portanto h(y)=tfracy^39.

Passo 4

A solução implícita geral é
U(x,y)=x^2y-2x+y^39=C

Passo 5

Para passar por l(x0,y0r)=l(1+tfracraiz83,1r) calculamos
C=x0^2cdot1-2x0+1^39 =x0^2-2x0+19
Como x0=1+tfrac2raiz23 temos
x0^2=1+4raiz23+89, 2x0=2+4raiz23,
logo x0^2-2x0=-tfrac19 e assim C=0. A solução particular fica
x^2y-2x+y^39=0

Passo 6

O campo de vetores
f(x,y)=2-2xyy^2/3+x^2
é contínuo e Lipschitz em y sempre que y^2/3+x^2neq0. O único ponto singular é (0,0). Como a condição inicial x0=1+tfrac2raiz23>0 e y0=1 não atinge esse ponto, a solução existe e é única em todo o intervalo em que não se aproxima de (0,0). Seguindo a curva implícita até onde ela toca (0,0), verifica-se que isso acontece apenas em x=0. Portanto o máximo intervalo de validade contendo x0 é
(0,infty)

Passo 7

Para esboçar a curva x^2y-2x+tfracy^39=0 observe:
– Em xtoinfty domina x^2yapprox2x, de onde ysim2/x, decrescendo para zero.
– Há ponto de máximo em que dy/dx=0, ou seja 2-2xy=0Rightarrow y=1/x; substituindo na implícita obtém-se x=1/raiz3, y=raiz3.
– A curva parte de (0,0), sobe até (1/raiz3,raiz3), depois decresce passando por l(1+tfracraiz83,1r) e tende ao eixo x.

Resposta

(a) A solução geral, implicitamente, é
x^2y-2x+y^39=C
(b) A solução que passa por l(1+tfracraiz83,1r) é
x^2y-2x+y^39=0,
válida em 0<x<infty.
(c) O esboço é uma curva que sai de (0,0), atinge máximo em l(tfrac1raiz3,raiz3r), passa por l(1+tfracraiz83,1r) e decresce assintoticamente como ysim2/x quando xtoinfty.

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