Mostre que, se y1 é uma solução de
y^prime prime prime+p1(t) y^prime prime+p2(t) y^prime+p2(t) y=0
então a substituição y=y1(t) v(t) nos leva à seguinte equação de segunda ordem para v^prime :
y1 v^prime prime prime+(3 y1^prime+p1 y1) v^prime prime+(3 y1^prime prime+2 p1 y1^prime+p2 y1) v^prime=0

Passo 1

O enunciado trata de uma EDO linear homogênea de terceira ordem
y''' + p1(t),y'' + p2(t),y' + p2(t),y = 0
e diz que ,y1(t) é uma solução conhecida. Queremos usar a substituição
y(t)=y1(t),v(t)
para obter uma equação que envolva apenas derivadas de v.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y=y1,v pelo produto:
y' = y1',v + y1,v',
y'' = y1'',v + 2,y1',v' + y1,v'',
y''' = y1''',v + 3,y1'',v' + 3,y1',v'' + y1,v'''

Passo 3

Substituindo essas expressões na EDO original, obtemos
l[y1'''!+!p1,y1''!+!p2,y1'!+!p2,y1r]v + l[3y1''!+!2p1,y1'!+!p2,y1r]v' + l[3y1'!+!p1,y1r]v'' + y1,v''' = 0

Passo 4

Como y1 é solução da EDO original, o coeficiente de v se anula:
y1'''+p1,y1''+p2,y1'+p2,y1 = 0
Restam então somente os termos em v', v'' e v''', ou seja,
y1,v''' + l(3y1'+p1,y1r)v'' + l(3y1''+2p1,y1'+p2,y1r)v' = 0

Resposta

y1,v''' + l(3y1'+p1,y1r),v'' + l(3y1''+2p1,y1'+p2,y1r),v' = 0

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