Encontre a soma da série.
sumn=0^infty (-1)^n pi^n3^2 n(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumn=0^infty (-1)^n,pi^n3^2n,(2n)!
Este é um caso de série de potências com fatoriais de ordem par, e vamos usar a série de Taylor de cos x,
cos x = sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)!

Passo 2

Note que 3^2n=(9)^n, então a série fica
sumn=0^infty(-1)^n,pi^n9^n,(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n,l(pi9r)^n(2n)!

Passo 3

Comparando com
cos x=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)!,
vemos que basta identificar
x^2=pi9 Longrightarrow x=raizpi9=raizpi3

Passo 4

Portanto a série soma exatamente
cos x com x=tfracraizpi3, ou seja
sumn=0^infty (-1)^n,pi^n3^2n(2n)! =cos!l(raizpi3r)

Resposta

cos!l(tfracraizpi3r)

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