Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de quarta ordem
e pede para determinar os intervalos em que as soluções existem com certeza. Vamos usar o Teorema de existência e unicidade para equações lineares: ele garante solução (única para dado valor inicial) em qualquer intervalo onde os coeficientes estejam contínuos.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
dividindo tudo por
. Obtemos
Aqui
Passo 3
Identificamos os pontos onde os coeficientes deixam de ser contínuos:
. zero do coeficiente líder
.
. singularidades de
Passo 4
Pelo Teorema de existência e unicidade, para qualquer valor inicial dado em
, há solução única em todo intervalo aberto que não contenha pontos de descontinuidade de
e
. Logo as soluções existem em cada componente conexa de
Resposta
As soluções existem com certeza em cada intervalo aberto obtido excluindo os pontos
Em outras palavras, nos componentes de
por exemplo
e assim por diante.