Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.
(x-1) y^(4)+(x+1) y^prime prime prime+(tan x) y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de quarta ordem
(x-1),y^(4)+(x+1),y^(3)+(tan x),y=0
e pede para determinar os intervalos em que as soluções existem com certeza. Vamos usar o Teorema de existência e unicidade para equações lineares: ele garante solução (única para dado valor inicial) em qualquer intervalo onde os coeficientes estejam contínuos.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y^(4) + p3(x),y^(3) + p0(x),y = 0,
dividindo tudo por x-1. Obtemos
y^(4) + x+1x-1,y^(3) + tan x,x-1,,y = 0
Aqui
p3(x)=x+1x-1, p0(x)=tan x,x-1,

Passo 3

Identificamos os pontos onde os coeficientes deixam de ser contínuos:
1. zero do coeficiente líder x-1=0 Rightarrow x=1.
2. singularidades de tan x Rightarrow cos x=0 Rightarrow x=tfracpi2+kpi,;kinZ

Passo 4

Pelo Teorema de existência e unicidade, para qualquer valor inicial dado em x0, há solução única em todo intervalo aberto que não contenha pontos de descontinuidade de p3 e p0. Logo as soluções existem em cada componente conexa de
R;setminus;l,1,;tfracpi2+kpi;m|;kinZr

Resposta

As soluções existem com certeza em cada intervalo aberto obtido excluindo os pontos
x=1 e x=pi2+kpi;(kinZ)
Em outras palavras, nos componentes de
Rsetminus,1,,(2k+1)tfracpi2mid kinZ,
por exemplo
l(-tfracpi2,1r),; l(1,tfracpi2r),; l(tfracpi2,tfrac3pi2r),dots
e assim por diante.

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