Resolva as equações: \left(1+x^{2}\right) y^{3} d x+\left(1-y^{2}\right) x^{3} d y=0
Passo 1
O enunciado nos dá a diferencial
(1+x^{2})\,y^{3}\,dx+(1-y^{2})\,x^{3}\,dy=0
e pede resolver essa equação — isto é, encontrar a família de curvas implícitas y(x) (ou relações entre x e y) que satisfaçam essa igualdade.
Informações importantes fornecidas:
A equação está na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=(1+x^{2})y^{3} e N(x,y)=(1-y^{2})x^{3}.
Deve-se cuidar do caso em que x=0 ou y=0, pois divisões por x ou y podem aparecer ao separar variáveis.
Passo 2
Teste rápido de exatidão (apenas para ver se a forma é exata): calcular as derivadas parciais
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} em geral, a forma não é exata. Então vamos procurar outro método.
Passo 3
Observação que facilita: fatorar os termos como produtos e dividir por x^{3}y^{3} (válido enquanto x\neq0 e y\neq0). Dividindo ambos os lados por x^{3}y^{3} obtemos
Isso é uma equação separável no sentido de que um dos termos depende só de x e o outro só de y. (Mais adiante trataremos separadamente os casos x=0 ou y=0.)
Passo 4
Reescrever os integrandos de forma mais simples usando potências:
onde C é a constante arbitrária de integração. Essa expressão é a solução implícita geral válida para x\neq0 e y\neq0.
Passo 7
Tratar as soluções singulares quando x=0 ou y=0:
Se y=0, então y=0 implica dy=0 e substituindo na equação original fica 0+ (1-0)x^{3}\,dy= x^{3}\,dy=0. Para qualquer x isso corresponde à curva y\equiv0 (com dy=0), portanto y=0 é solução.
Se x=0, então dx=0 e substituindo obtemos (1+0)y^{3}\,dx + 0 =0, isto é, 0=0. Assim a reta vertical x=0 também satisfaz a forma diferencial (é uma solução singular, não expressa como função y(x)).