Resolva as equações:
\left(1+x^{2}\right) y^{3} d x+\left(1-y^{2}\right) x^{3} d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a diferencial
(1+x^{2})\,y^{3}\,dx+(1-y^{2})\,x^{3}\,dy=0
e pede resolver essa equação — isto é, encontrar a família de curvas implícitas y(x) (ou relações entre x e y) que satisfaçam essa igualdade.
Informações importantes fornecidas:
  • A equação está na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=(1+x^{2})y^{3} e N(x,y)=(1-y^{2})x^{3}.
  • Deve-se cuidar do caso em que x=0 ou y=0, pois divisões por x ou y podem aparecer ao separar variáveis.

Passo 2

Teste rápido de exatidão (apenas para ver se a forma é exata): calcular as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=3(1+x^{2})y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=3(1-y^{2})x^{2}.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} em geral, a forma não é exata. Então vamos procurar outro método.

Passo 3

Observação que facilita: fatorar os termos como produtos e dividir por x^{3}y^{3} (válido enquanto x\neq0 e y\neq0). Dividindo ambos os lados por x^{3}y^{3} obtemos
\frac{1+x^{2}}{x^{3}}\,dx+\frac{1-y^{2}}{y^{3}}\,dy=0.
Isso é uma equação separável no sentido de que um dos termos depende só de x e o outro só de y. (Mais adiante trataremos separadamente os casos x=0 ou y=0.)

Passo 4

Reescrever os integrandos de forma mais simples usando potências:
\frac{1+x^{2}}{x^{3}}=x^{-3}+x^{-1}, \qquad \frac{1-y^{2}}{y^{3}}=y^{-3}-y^{-1}.
Portanto a equação pode ser escrita como
\bigl(x^{-3}+x^{-1}\bigr)\,dx + \bigl(y^{-3}-y^{-1}\bigr)\,dy=0.
Colocando um dos termos no lado direito:
\bigl(x^{-3}+x^{-1}\bigr)\,dx = -\bigl(y^{-3}-y^{-1}\bigr)\,dy.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados. Lembrete rápido de integrais usadas:
  • Se n\neq-1 então \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
  • \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
Calcule a primitiva em x:
\int\bigl(x^{-3}+x^{-1}\bigr)\,dx=\int x^{-3}\,dx+\int x^{-1}\,dx =\frac{x^{-2}}{-2}+\ln|x| =-\frac{1}{2x^{2}}+\ln|x|.
Calcule a primitiva em y:
\int\bigl(y^{-3}-y^{-1}\bigr)\,dy=\int y^{-3}\,dy-\int y^{-1}\,dy =\frac{y^{-2}}{-2}-\ln|y| =-\frac{1}{2y^{2}}-\ln|y|.

Passo 6

A relação de integração \displaystyle\int\bigl(x^{-3}+x^{-1}\bigr)\,dx=-\int\bigl(y^{-3}-y^{-1}\bigr)\,dy+C
-\frac{1}{2x^{2}}+\ln|x| = -\biggl(-\frac{1}{2y^{2}}-\ln|y|\biggr) + C,
ou, reorganizando todos os termos num só lado,
\ln|x|-\ln|y|-\frac{1}{2x^{2}}-\frac{1}{2y^{2}}=C.
Podemos escrever de forma mais compacta usando logaritmo do quociente:
\ln\!\left|\frac{x}{y}\right|-\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\right)=C,
onde C é a constante arbitrária de integração. Essa expressão é a solução implícita geral válida para x\neq0 e y\neq0.

Passo 7

Tratar as soluções singulares quando x=0 ou y=0:
  • Se y=0, então y=0 implica dy=0 e substituindo na equação original fica 0+ (1-0)x^{3}\,dy= x^{3}\,dy=0. Para qualquer x isso corresponde à curva y\equiv0 (com dy=0), portanto y=0 é solução.
  • Se x=0, então dx=0 e substituindo obtemos (1+0)y^{3}\,dx + 0 =0, isto é, 0=0. Assim a reta vertical x=0 também satisfaz a forma diferencial (é uma solução singular, não expressa como função y(x)).

Resposta

\displaystyle \ln\!\left|\frac{x}{y}\right|-\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\right)=C\n
\displaystyle x=0\n
\displaystyle y=0

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