Resolva o problema de valor inicial,
y^{\prime}+\frac{1}{x} y=3 \cos (2 x), \quad \text { onde } y(\pi)=0, \quad \forall x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
y' + \frac{1}{x}\,y = 3\cos(2x),
com condição inicial y(\pi)=0, para x>0. O método a usar é o do fator integrante, visto que temos a forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x),
com p(x)=1/x e q(x)=3\cos(2x).

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(\ln x) = x.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x:
x\,y' + y = 3x\cos(2x).
O lado esquerdo é a derivada do produto x\,y, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = 3x\cos(2x).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,y = \int 3x\cos(2x)\,dx + C.
Para calcular \displaystyle\int 3x\cos(2x)\,dx usamos integração por partes:
se u = x e dv = 3\cos(2x)\,dx, então du = dx e v = \tfrac{3}{2}\sin(2x). Logo,
\int 3x\cos(2x)\,dx = x\cdot \frac{3}{2}\sin(2x) - \int \frac{3}{2}\sin(2x)\,dx = \frac{3}{2}x\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x).
Portanto
x\,y = \frac{3}{2}x\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + C.

Passo 5

Isolamos y:
y = \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\,\frac{\cos(2x)}{x} + \frac{C}{x}.
Aplicamos a condição inicial y(\pi)=0. Como \sin(2\pi)=0 e \cos(2\pi)=1, temos
0 = y(\pi) = 0 + \frac{3}{4}\,\frac{1}{\pi} + \frac{C}{\pi} \;\Longrightarrow\; \frac{C}{\pi} = -\frac{3}{4\pi} \;\Longrightarrow\; C = -\frac{3}{4}.

Passo 6

Substituindo C=-\tfrac{3}{4} em y, obtemos a solução geral que satisfaz a condição inicial:
y(x) = \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4x}\cos(2x) - \frac{3}{4x} = \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4x}\bigl(\cos(2x) - 1\bigr).

Resposta

\boxed{y(x)=\frac{3}{2}\sin(2x)+\frac{3}{4x}\bigl(\cos(2x)-1\bigr).}

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