Considere a seguinte equação diferencial,
a) Mostre que a equação é exata.
b) Encontre a solução geral para equação.
b) Encontre a solução geral para equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede (a) mostrar que ela é exata e (b) encontrar sua solução geral. Para isso vamos identificá-la na forma
com
e
, verificar a exatidão e achar uma função potencial
.
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando
e
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
tal que
Integrando em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora exigimos
. Calculamos
Igualando a
temos
Logo
(constante absorvida em C).
Passo 5
Portanto a função potencial completa é
e a solução geral fica
ou seja
Resposta
com
constante de integração.