Considere a seguinte equação diferencial,
y \cos (x)+2 x e^{y}+\left(\operatorname{sen}(x)+x^{2} e^{y}-1\right) y^{\prime}=0 .
a) Mostre que a equação é exata.
b) Encontre a solução geral para equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y\cos(x) \;+\;2x e^{y}\;+\;\bigl(\sin(x)+x^{2}e^{y}-1\bigr)\,y'=0
e pede (a) mostrar que ela é exata e (b) encontrar sua solução geral. Para isso vamos identificá-la na forma
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0
com M(x,y)=y\cos(x)+2x e^{y} e N(x,y)=\sin(x)+x^{2}e^{y}-1, verificar a exatidão e achar uma função potencial \Phi(x,y).

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos(x)+2x e^{y}\bigr) =\cos(x)+2x e^{y},
e
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(x)+x^{2}e^{y}-1\bigr) =\cos(x)+2x e^{y}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \Phi(x,y) tal que
\Phi_x=M(x,y)=y\cos(x)+2x e^{y}.
Integrando em relação a x:
\Phi(x,y) =\int\bigl(y\cos(x)+2x e^{y}\bigr)\,dx =y\sin(x)+x^{2}e^{y}+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora exigimos \Phi_y=N(x,y). Calculamos
\Phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\sin(x)+x^{2}e^{y}+h(y)\bigr) =\sin(x)+x^{2}e^{y}+h'(y).
Igualando a N(x,y)=\sin(x)+x^{2}e^{y}-1 temos
\sin(x)+x^{2}e^{y}+h'(y) =\sin(x)+x^{2}e^{y}-1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-1
Logo h(y)=-y (constante absorvida em C).

Passo 5

Portanto a função potencial completa é
\Phi(x,y) =y\sin(x)+x^{2}e^{y}-y
e a solução geral fica
\Phi(x,y)=C,
ou seja

Resposta

y\sin(x)+x^{2}e^{y}-y=C,
com C constante de integração.

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