Resolva a seguinte integral usando o método de substituição:
integral x raizx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral x raizx^2+1 , dx usando o método de substituição. Nesse método, a gente troca uma parte da integral por uma nova variável para facilitar a resolução. Vamos precisar entender um pouquinho sobre substituição em integrais para fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da integral para substituir por uma nova variável u. Aqui, uma boa escolha é deixar dentro da raiz x^2 + 1 ser nosso u. Então, vamos definir:
u = x^2 + 1
Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que x , dx = du2.

Passo 3

Agora, vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral x raizx^2+1 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral raizu , du
Simplificando, temos:
12 integral u^1/2 , du

Passo 4

Vamos integrar u^1/2 em relação a u. A regra geral para integrar u^n é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aqui, n = 12, então:
12 cdot u^3/23/2 = 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2

Passo 5

Agora, vamos voltar a substituir u = x^2 + 1 na nossa expressão:
13 u^3/2 = 13 (x^2 + 1)^3/2

Passo 6

Finalmente, não podemos esquecer da constante de integração C, já que estamos fazendo uma integral indefinida.

Resposta

13 (x^2 + 1)^3/2 + C

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