Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L.
f(x)=l-1 se -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função $ f(x) $ que tem período $ p = 4 $ (já que $ 2L = 4 $, então $ L = 2 $). A função é definida por:
f(x)
Vamos usar a teoria da série de Fourier para funções periódicas de período $ 2L $, que envolve calcular os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Substituindo $ L = 2 $:
a0

Passo 3

Vamos calcular as integrais:
integral-2^0 (-1) , dx = (-1)(0 - (-2)) = -2
integral0^2 1 , dx = 1(2 - 0) = 2
Somando essas duas integrais:
-2 + 2 = 0
Então:
a0 = 14 times 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ para $ n \geq 1 $. A fórmula é:
an
Substituindo $ L = 2 $:
n >= 1
Observando que a função $ f(x) $ é ímpar, os coeficientes $ a_n $ serão iguais a zero.

Passo 5

Por último, vamos calcular os coeficientes $ b_n $ para $ n \geq 1 $. A fórmula é:
bn
Substituindo $ L = 2 $:
n >= 1
Devido à simetria da função $ f(x) $, os coeficientes $ b_n $ serão calculados como:
bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi xL) , dx

Resposta

A série de Fourier da função $ f(x) $ é dada por:
f(x)

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