Encontre a série de Fourier da função
, de período
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função $ f(x) $ que tem período $ p = 4 $ (já que $ 2L = 4 $, então $ L = 2 $). A função é definida por:
Vamos usar a teoria da série de Fourier para funções periódicas de período $ 2L $, que envolve calcular os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para $ a_0 $ é:
Substituindo $ L = 2 $:
Passo 3
Vamos calcular as integrais:
Somando essas duas integrais:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ para $ n \geq 1 $. A fórmula é:
Substituindo $ L = 2 $:
Observando que a função $ f(x) $ é ímpar, os coeficientes $ a_n $ serão iguais a zero.
Passo 5
Por último, vamos calcular os coeficientes $ b_n $ para $ n \geq 1 $. A fórmula é:
Substituindo $ L = 2 $:
Devido à simetria da função $ f(x) $, os coeficientes $ b_n $ serão calculados como:
Resposta
A série de Fourier da função $ f(x) $ é dada por: