Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
d yd x=x y
Determine as constantes A e B utilizando a condição inicial:
y(0)=2

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
d yd x = x y
E uma condição inicial que diz que quando $ x = 0 $, $ y = 2 $. Nosso objetivo é encontrar as constantes $ A $ e $ B $ que aparecem na solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que estamos lidando. A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser escrita na forma:
d yd x + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
d yd x - x y = 0
Aqui, $ P(x) = -x $ e $ Q(x) = 0 $.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -x $:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^- x^22 d yd x - x e^- x^22 y = 0
Isso simplifica para:
dd x( y e^- x^22 ) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para $ y $:
y
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 2 $ para encontrar a constante $ C $:
y(0) = 2

Passo 8

Portanto, a solução particular da equação diferencial é:
y = 2 e^x^22

Resposta

As constantes são $ A = 2 $ e $ B = \frac{1}{2} $, então a solução é:
A = 2

Exercícios relacionados