Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
Determine as constantes
e
utilizando a condição inicial:
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
E uma condição inicial que diz que quando $ x = 0 $, $ y = 2 $. Nosso objetivo é encontrar as constantes $ A $ e $ B $ que aparecem na solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que estamos lidando. A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser escrita na forma:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Aqui, $ P(x) = -x $ e $ Q(x) = 0 $.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Substituindo $ P(x) = -x $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para $ y $:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 2 $ para encontrar a constante $ C $:
Passo 8
Portanto, a solução particular da equação diferencial é:
Resposta
As constantes são $ A = 2 $ e $ B = \frac{1}{2} $, então a solução é: