Lei do Resfriamento de Newton - Determinação do Momento da Morte
A temperatura de um corpo se ajusta à temperatura ambiente de acordo com a ^* * Lei do Resfriamento de Newton**, que é dada por:
d Td t=-k(T-Ta)
onde:
  • T é a temperatura do corpo no instante t;
  • Ta é a temperatura ambiente;
  • k é uma constante de proporcionalidade positiva;
  • t representa o tempo.
    Agora, considere o seguinte caso investigativo:
    Um corpo foi encontrado às 7:00 da manhã com uma temperatura de ^* * 30^circ C^* *. A temperatura ambiente era de ^* * 20^circ C^* *. O legista sabe que a temperatura normal do corpo humano antes da morte é ** 36^* C^* *. Após 1 hora, a temperatura do corpo foi medida novamente e estava em **28 8^circ C^* *.
    Identifique os dados do problema e substitua na equação diferencial fornecida.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tá trabalhando com a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um corpo muda com o tempo até se igualar à temperatura ambiente. A equação que a gente vai usar é:
d Td t = -k(T - Ta)
Nessa equação:
  • $ T $ é a temperatura do corpo no tempo $ t $.
  • $ T_a $ é a temperatura ambiente.
  • $ k $ é uma constante positiva que indica a rapidez com que o corpo se ajusta à temperatura ambiente.
  • $ t $ é o tempo.
Vamos precisar identificar os valores de cada uma dessas variáveis a partir do enunciado para substituir na equação.

Passo 2

Agora, vamos pegar os dados que o problema nos dá:
  • Temperatura ambiente ($ T_a $): 20°C
  • Temperatura do corpo às 7:00 da manhã ($ T_0 $): 30°C
  • Temperatura do corpo após 1 hora ($ T(1) $): 28,8°C
Além disso, sabemos que a temperatura normal do corpo humano antes da morte é 36°C, mas nesse caso, o que importa é a temperatura inicial quando o corpo foi encontrado.
Então, substituindo esses valores na equação diferencial:
Ta
Aqui, $ T_a = 20 $ foi substituído na equação original.

Resposta

A equação diferencial com os dados substituídos fica:
d Td t = -k(T - 20)

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