(1) (2,0 pontos) Calcular a derivada das funções abaixo, empregando as regras de derivação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{2x e^{x}}{1 + 3x^{2}} $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, especificamente utilizando a Regra do Quociente. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula dessa regra e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Quociente. Ela é usada quando a função é uma divisão de duas funções, como no nosso caso. A fórmula da derivada de $ \frac{u(x)}{v(x)} $ é:
Aqui, $ u(x) = 2x e^{x} $ e $ v(x) = 1 + 3x^{2} $. Nosso objetivo é encontrar $ u’(x) $ e $ v’(x) $ para aplicar na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular $ u’(x) $. A função $ u(x) = 2x e^{x} $ é um produto de duas funções: $ 2x $ e $ e^{x} $. Para derivar isso, usamos a Regra do Produto, que diz:
Aplicando:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) = 1 + 3x^{2} $. Essa função é mais simples, pois é uma soma de termos. Derivando termo a termo:
Passo 5
Com $ u’(x) = 2 e^{x} + 2x e^{x} $ e $ v’(x) = 6x $, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o numerador. Primeiro, expandimos as multiplicações:
E:
Subtraindo:
Podemos fatorar $ 2 e^{x} $:
Passo 7
Finalmente, colocando tudo junto na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função é: