(1) (2,0 pontos) Calcular a derivada das funções abaixo, empregando as regras de derivação.
f(x)=2 x e^x1+3 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{2x e^{x}}{1 + 3x^{2}} $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, especificamente utilizando a Regra do Quociente. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula dessa regra e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Quociente. Ela é usada quando a função é uma divisão de duas funções, como no nosso caso. A fórmula da derivada de $ \frac{u(x)}{v(x)} $ é:
u(x)v(x)
Aqui, $ u(x) = 2x e^{x} $ e $ v(x) = 1 + 3x^{2} $. Nosso objetivo é encontrar $ u’(x) $ e $ v’(x) $ para aplicar na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular $ u’(x) $. A função $ u(x) = 2x e^{x} $ é um produto de duas funções: $ 2x $ e $ e^{x} $. Para derivar isso, usamos a Regra do Produto, que diz:
u'(x)
Aplicando:
u(x) = 2x e^x

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = 1 + 3x^{2} $. Essa função é mais simples, pois é uma soma de termos. Derivando termo a termo:
v(x) = 1 + 3x^2

Passo 5

Com $ u’(x) = 2 e^{x} + 2x e^{x} $ e $ v’(x) = 6x $, vamos aplicar a Regra do Quociente:
u'(x) = 2 e^x + 2x e^x

Passo 6

Agora, vamos simplificar o numerador. Primeiro, expandimos as multiplicações:
(2 e^x + 2x e^x)(1 + 3x^2) = 2 e^x cdot 1 + 2 e^x cdot 3x^2 + 2x e^x cdot 1 + 2x e^x cdot 3x^2 = 2 e^x + 6x^2 e^x + 2x e^x + 6x^3 e^x
E:
(2x e^x)(6x) = 12x^2 e^x
Subtraindo:
2 e^x + 6x^2 e^x + 2x e^x + 6x^3 e^x - 12x^2 e^x = 2 e^x + 2x e^x - 6x^2 e^x + 6x^3 e^x
Podemos fatorar $ 2 e^{x} $:
2 e^x

Passo 7

Finalmente, colocando tudo junto na expressão da derivada:
f'(x) = 2 e^x(1 + x - 3x^2 + 3x^3)(1 + 3x^2)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2 e^x(1 + x - 3x^2 + 3x^3)(1 + 3x^2)^2

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