Considere a seguinte equação diferencial ordinária não-linear:
y^prime+p(t) y=q(t) y^n
Esse tipo de equação é chamada de equação de Bernoulli.
Resolva a equação y^prime=r y-k y^2, r>0 e k>0.
R.: y=r /(k+c r e^-r t)

Passo 1

Nesse exercício, temos a equação diferencial não-linear
y'=r,y - k,y^2
que é um caso clássico de equação de Bernoulli com expoente n=2. Para resolver, vamos usar a transformação que reduz este tipo de equação a uma linear de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão de Bernoulli:
y' - r,y = -k,y^2
Aqui identificamos p(t)=-r, q(t)=-k e n=2.

Passo 3

Aplicamos a substituição típica de Bernoulli:
v = y^1-n = y^-1
Derivando em relação a t, usando cadeia e a ODE original:
v' = -y'y^2 = -r,y - k,y^2y^2 = -r,y^-1 + k = -r,v + k

Passo 4

Reescrevemos a equação para v(t) como linear de 1ª ordem:
v' + r,v = k
O fator integrante é mu(t)=e^integral r,dt=e^r t. Multiplicando ambos os lados:
ddtl(v e^r tr) = k e^r t
Integrando:
v e^r t = kr e^r t + C implies v = kr + C e^-r t

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original: y = 1/v. Assim,
y = 1kr + C e^-r t = rk + C r e^-r t

Passo 6

Essa é a solução geral da equação.

Resposta

y = rk + c r e^-r t

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