Considere a seguinte equação diferencial ordinária não-linear:
Esse tipo de equação é chamada de equação de Bernoulli.
Resolva a equação
e
.
R.:
Resolva a equação
R.:
Passo 1
Nesse exercício, temos a equação diferencial não-linear
que é um caso clássico de equação de Bernoulli com expoente
. Para resolver, vamos usar a transformação que reduz este tipo de equação a uma linear de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão de Bernoulli:
Aqui identificamos
,
e
.
Passo 3
Aplicamos a substituição típica de Bernoulli:
Derivando em relação a
, usando cadeia e a ODE original:
Passo 4
Reescrevemos a equação para
como linear de 1ª ordem:
O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados:
Integrando:
Passo 5
Por fim, voltamos à variável original:
. Assim,
Passo 6
Essa é a solução geral da equação.