Passo 1
Estamos aqui para resolver o limite da função $ e^{\left(\frac{x}{x+2}\right)} $ quando $ x $ se aproxima de -2, tanto pela esquerda ($ -2^-
-2^+ $). Vamos trabalhar com os conceitos de limites e funções exponenciais para entender como essa função se comporta nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do expoente: $ \frac{x}{x + 2} $. Nosso objetivo é entender o que acontece com essa fração quando $ x $ se aproxima de -2.
Passo 3
Vamos considerar dois casos:
-
Quando $ x $ se aproxima de -2 pela esquerda ($ x \rightarrow -2^- $):
- Nesse caso, $ x + 2 $ está se aproximando de 0 pelo lado negativo, ou seja, valores ligeiramente menores que 0.
- Então, $ \frac{x}{x + 2} $ se torna $ \frac{-2}{um número muito pequeno negativo}
+\infty $).
-
Quando $ x $ se aproxima de -2 pela direita ($ x \rightarrow -2^+ $):
- Aqui, $ x + 2 $ está se aproximando de 0 pelo lado positivo, ou seja, valores ligeiramente maiores que 0.
- Assim, $ \frac{x}{x + 2} $ se torna $ \frac{-2}{um número muito pequeno positivo}
-\infty $).
Passo 4
Agora, vamos aplicar a função exponencial a esses resultados:
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Para $ x \rightarrow -2^- $:
- Temos $ e^{+\infty} $, que tende a $ +\infty $.
-
Para $ x \rightarrow -2^+ $:
- Temos $ e^{-\infty} $, que tende a 0.