lim x -2^ pm e^(xx+2)=

Passo 1

Estamos aqui para resolver o limite da função $ e^{\left(\frac{x}{x+2}\right)} $ quando $ x $ se aproxima de -2, tanto pela esquerda ($ -2^- e^(xx+2) -2^+ $). Vamos trabalhar com os conceitos de limites e funções exponenciais para entender como essa função se comporta nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do expoente: $ \frac{x}{x + 2} $. Nosso objetivo é entender o que acontece com essa fração quando $ x $ se aproxima de -2.

Passo 3

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando $ x $ se aproxima de -2 pela esquerda ($ x \rightarrow -2^- $):
    • Nesse caso, $ x + 2 $ está se aproximando de 0 pelo lado negativo, ou seja, valores ligeiramente menores que 0.
    • Então, $ \frac{x}{x + 2} $ se torna $ \frac{-2}{um número muito pequeno negativo} x +\infty $).
  2. Quando $ x $ se aproxima de -2 pela direita ($ x \rightarrow -2^+ $):
    • Aqui, $ x + 2 $ está se aproximando de 0 pelo lado positivo, ou seja, valores ligeiramente maiores que 0.
    • Assim, $ \frac{x}{x + 2} $ se torna $ \frac{-2}{um número muito pequeno positivo} x -2^- -\infty $).

Passo 4

Agora, vamos aplicar a função exponencial a esses resultados:
  1. Para $ x \rightarrow -2^- $:
    • Temos $ e^{+\infty} $, que tende a $ +\infty $.
  2. Para $ x \rightarrow -2^+ $:
    • Temos $ e^{-\infty} $, que tende a 0.

Resposta

limx -2^- e^(xx+2) = +infty
limx -2^+ e^(xx+2) = 0

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