Questão 7. Com respeito a série
podemos dizer que:
Esta série converge para um número real positivo.
Esta série converge para um número real positivo.
Passo 1
Vamos analisar a série
. O objetivo é determinar se essa série converge para um número real positivo. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da série. Cada termo da série é dado por
. O denominador
aumenta conforme
cresce, e o numerador
diminui, já que
decresce quando
aumenta.
Passo 3
Para determinar a convergência, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar nossa série com outra série conhecida cuja convergência já foi estabelecida.
Passo 4
Observando
, sabemos que
para todo
. Portanto:
Passo 5
Agora, consideramos a série comparativa
. Essa é uma série p com
.
Passo 6
Sabemos que a série p
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, então a série comparativa diverge.
Passo 7
No entanto, nosso objetivo é provar a convergência, não a divergência. Para isso, precisamos encontrar uma série de comparação que converja e que seja maior que nossa série original.
Passo 8
Observamos que, para
grande, $e^{-\sqrt{n}} $ decresce rapidamente. Podemos comparar com uma série que utiliza
de forma mais controlada.
Passo 9
Consideramos a série
. Sabemos que
tende a zero mais rápido do que qualquer potência de
, o que sugere que a série converge.
Passo 10
Como a série
possui termos positivos e decrescentes que tendem a zero, pela Condicional de Convergência de Cauchy, ela converge.
Resposta
A série
converge para um número real positivo.