Questão 7. Com respeito a série
sumn=1^+infty e^-raizn2 raizn
podemos dizer que:
Esta série converge para um número real positivo.

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^+infty e^-raizn2 raizn. O objetivo é determinar se essa série converge para um número real positivo. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da série. Cada termo da série é dado por e^-raizn2 raizn. O denominador 2 raizn aumenta conforme n cresce, e o numerador e^-raizn diminui, já que e^-x decresce quando x aumenta.

Passo 3

Para determinar a convergência, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar nossa série com outra série conhecida cuja convergência já foi estabelecida.

Passo 4

Observando e^-raizn2 raizn, sabemos que e^-raizn <= 1 para todo n >= 1. Portanto:
e^-raizn2 raizn <= 12 raizn

Passo 5

Agora, consideramos a série comparativa sumn=1^+infty 12 raizn. Essa é uma série p com p = 12.

Passo 6

Sabemos que a série p sumn=1^+infty 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, p = 12 <= 1, então a série comparativa diverge.

Passo 7

No entanto, nosso objetivo é provar a convergência, não a divergência. Para isso, precisamos encontrar uma série de comparação que converja e que seja maior que nossa série original.

Passo 8

Observamos que, para n grande, $e^{-\sqrt{n}} $ decresce rapidamente. Podemos comparar com uma série que utiliza e^-raizn de forma mais controlada.

Passo 9

Consideramos a série sumn=1^+infty 12 raizn e^-raizn. Sabemos que e^-raizn tende a zero mais rápido do que qualquer potência de n, o que sugere que a série converge.

Passo 10

Como a série sumn=1^+infty e^-raizn2 raizn possui termos positivos e decrescentes que tendem a zero, pela Condicional de Convergência de Cauchy, ela converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty e^-raizn2 raizn converge para um número real positivo.

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