O valor de
é
a) 0
(b)
c)
a) 0
(b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita da expressão:
Vamos precisar entender como cada parte dessa expressão se comporta quando $ x $ está muito perto de 1, usando conceitos de limites e propriedades de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte
. Quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita, $ x - 1 $ fica muito pequeno e positivo. A raiz quadrada de um número que está indo para 0 também vai para 0. Então:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com o expoente
. Como $ x $ está se aproximando de 1, $ \frac{2\pi}{x - 1} $ vai para infinito. O cosseno de um número que vai para infinito oscila entre -1 e 1 continuamente. Então:
Isso significa que $ e^{\cos\left(\frac{2\pi}{x - 1}\right)} $ vai oscilar entre $ e^{-1} $ e $ e^{1} $, mas como estamos multiplicando por
, que está indo para 0, o termo todo vai para 0.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda parte da expressão:
.
Quando $ x $ se aproxima de 1, $ x + 1 $ aproxima-se de 2, e $ \sqrt{x - 1} $ aproxima-se de 0. Então:
Passo 5
Finalmente, somamos os limites das duas partes que calculamos:
Resposta
O valor do limite é
.