Considere a seguinte equação diferencial com problema de valor inicial (PVI):
l y^prime prime-3 y^prime+2 y=x e^3 x y(0)=1 y^prime(0)=2
a) Encontre todas as soluções da equação homogênea associada:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0
b) Encontre uma solução particular da equação completa usando o método dos coeficientes a determinadr.
c) Escreva a solução geral da equação completa como a soma da solução homogênea e da solução particular.
d) Utilize as condições iniciais para encontrar a solução que satisfaz o PVI dado.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' - 3y' + 2y = x e^3x, y(0)=1, y'(0)=2
É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos seguir estes passos: (i) achar a solução da equação homogênea associada, (ii) encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar, (iii) montar a solução geral e (iv) usar as condições iniciais para especificar os constantes.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 3y' + 2y = 0
e montamos a equação característica
r^2 - 3r + 2 = 0
As raízes são r=1 e r=2. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^2x

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
yp(x) = (A x + B),e^3x,
onde A e B são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
yp' = l(3A x + (3B + A)r)e^3x, yp'' = l(9A x + (6A + 9B)r)e^3x
Substituindo em y'' - 3y' +2y = x e^3x e dividindo por e^3x, obtemos
l[9A x + (6A+9B)r] - 3l[3A x + (3B+A)r] +2(Ax+B) = x
Isso gera o sistema para os coeficientes de x e termo constante:
2A =1, 3A + 2B =0
Assim A=tfrac12 e B=-tfrac34. Portanto
yp(x) = l(tfrac12 x - tfrac34r)e^3x

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^2x + l(tfrac12 x - tfrac34r)e^3x

Passo 5

Aplicamos y(0)=1 e y'(0)=2. Primeiro,
y(0)=C1 + C2 -tfrac34 =1 Longrightarrow C1 + C2 = tfrac74
Em seguida, usando
y'(x)=C1 e^x+2C2 e^2x +l(tfrac32 x -tfrac74r)e^3x ,
temos
y'(0)=C1 +2C2 -tfrac74 =2 Longrightarrow C1 +2C2 = tfrac154
Resolvendo
C1 +C2=tfrac74,;C1+2C2=tfrac154,
obtemos C2=2 e C1=-tfrac14.

Resposta

a) A solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^2x
b) Uma solução particular é
yp(x) = l(tfrac12 x - tfrac34r)e^3x
c) A solução geral da completa é
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x + l(tfrac12 x - tfrac34r)e^3x
d) Aplicando as condições iniciais, a solução que satisfaz o PVI é
y(x) = -tfrac14 e^x + 2e^2x + l(tfrac12 x - tfrac34r)e^3x

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