Considere a seguinte equação diferencial com problema de valor inicial (PVI):
a) Encontre todas as soluções da equação homogênea associada:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0
b) Encontre uma solução particular da equação completa usando o método dos coeficientes a determinadr.
c) Escreva a solução geral da equação completa como a soma da solução homogênea e da solução particular.
d) Utilize as condições iniciais para encontrar a solução que satisfaz o PVI dado.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' - 3y' + 2y = x e^3x, y(0)=1, y'(0)=2
É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos seguir estes passos: (i) achar a solução da equação homogênea associada, (ii) encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar, (iii) montar a solução geral e (iv) usar as condições iniciais para especificar os constantes.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
y'' - 3y' + 2y = 0
e montamos a equação característica
r^2 - 3r + 2 = 0
As raízes são r=1 e r=2. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^2x
Passo 3
Procuramos uma solução particular da forma
yp(x) = (A x + B),e^3x,
onde A e B são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
yp' = l(3A x + (3B + A)r)e^3x, yp'' = l(9A x + (6A + 9B)r)e^3x
Substituindo em y'' - 3y' +2y = x e^3x e dividindo por e^3x, obtemos
l[9A x + (6A+9B)r] - 3l[3A x + (3B+A)r] +2(Ax+B) = x
Isso gera o sistema para os coeficientes de x e termo constante: