( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real L, diverge para +infty ou -infty, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
lim x +infty 3 x^2+1x^3+x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+infty3x^2+1x^3+x,
que é um caso clássico de limite de função racional quando xto+infty. Vamos usar a comparação dos graus do polinômio no numerador e no denominador, dividindo tudo pela maior potência de x.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^3, a maior potência que aparece:
3x^2+1x^3+x = 3x^2x^3+1x^3x^3x^3+xx^3 = 3x+1x^31+1x^2

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de cada termo quando xto+infty:
3xto0, 1x^3to0 e 1x^2to0.
Logo o numerador tende a 0+0=0 e o denominador tende a 1+0=1.

Passo 4

Como
3x+1x^31+1x^2 ;longrightarrow; 01 =0,
segue que
limxto+infty3x^2+1x^3+x=0.

Resposta

Converge para 0.

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