Considere a seguinte equação diferencial:
Mostre que a equação diferencial não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
Passo 1
Temos a equação diferencial
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos testar exatidão e depois procurar um fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Primeiro transformamos a equação no formato
. Neste caso
M(x,y)=e{x3}+\sin y e N(x,y)=\frac{x}{3}\cos y, pois e
equivale a
.
M(x,y)=e{x3}+\sin y e N(x,y)=\frac{x}{3}\cos y, pois
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
-
. -
.
Como, a equação NÃO é exata.
Passo 4
Para achar um fator integrante que dependa só de
, usamos a condição
e verificamos se o lado direito é função apenas de
.
Passo 5
Substituindo as derivadas:
portanto
que é função só de
. Assim
Passo 6
Ignorando a constante multiplicativa (que não altera a exatidão), obtemos
Esse
depende só de
e torna a equação exata quando multiplicamos por ele.
Resposta
A equação diferencial não é exata e um fator integrante que depende somente de x é
.