Considere a seguinte equação diferencial:
e^x^3+sen y+x3 cos y y^prime=0
Mostre que a equação diferencial não é exata e que mu(x)=x^2 é um fator integrante da mesma.

Passo 1

Temos a equação diferencial
e^x^3 + sin y + x3cos y,y' = 0
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos testar exatidão e depois procurar um fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Primeiro transformamos a equação no formato M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Neste caso
M(x,y)=e{x3}+\sin y e N(x,y)=\frac{x}{3}\cos y, pois y'=dy/dx e M + N y'=0 equivale a M,dx+N,dy=0.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
  • dfracpartial Mpartial y=cos y.
  • dfracpartial Npartial x=dfrac13cos y.
    Como cos y neq tfrac13cos y, a equação NÃO é exata.

Passo 4

Para achar um fator integrante que dependa só de x, usamos a condição
dfracddxl(lnmu(x)r)=dfracpartial Mpartial y-partial Npartial xN(x,y),
e verificamos se o lado direito é função apenas de x.

Passo 5

Substituindo as derivadas:
dfracpartial Mpartial y-partial Npartial x=cos y-tfrac13cos y=tfrac23cos y,
portanto
dfracpartial Mpartial y-partial Npartial xN= dfractfrac23cos ytfracx3cos y=dfrac2x,
que é função só de x. Assim
dfracddx(lnmu)=dfrac2x Longrightarrow lnmu=2ln x + C

Passo 6

Ignorando a constante multiplicativa (que não altera a exatidão), obtemos
mu(x)=x^2
Esse mu(x) depende só de x e torna a equação exata quando multiplicamos por ele.

Resposta

A equação diferencial não é exata e um fator integrante que depende somente de x é mu(x)=x^2.

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