Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral iterada abaixo, que envolve a função
. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas, e vamos precisar identificar a região de integração no plano
para depois integrar passo a passo.
A integral dada é
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
descrita: temos
A condição
é equivalente a
. Logo, graficamente,
é o conjunto
Passo 3
Invertendo a ordem de integração, para cada
em
temos
variando de 0 até
. Assim a integral vira
Passo 4
Agora integramos primeiro em
. Como
é independente de
, obtemos
Então a integral reduz-se a
Passo 5
Para calcular
, fazemos a substituição
, logo
e
. Quando
,
; quando
,
. Assim: