Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
integral0^1 integralraizy^1 raiz2+x^3 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral iterada abaixo, que envolve a função raiz2+x^3. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas, e vamos precisar identificar a região de integração no plano (x,y) para depois integrar passo a passo.
A integral dada é
integral0^1integralraizy^1raiz2+x^3,dx,dy

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R descrita: temos
0<= y<=1, raizy<= x<=1
A condição x>=raizy é equivalente a y<= x^2. Logo, graficamente, R é o conjunto
R=(x,y):0<= x<=1,;0<= y<= x^2

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, para cada x em [0,1] temos y variando de 0 até x^2. Assim a integral vira
integralx=0^1integraly=0^x^2raiz2+x^3,dy,dx

Passo 4

Agora integramos primeiro em y. Como raiz2+x^3 é independente de y, obtemos
integral0^x^2raiz2+x^3,dy = x^2raiz2+x^3
Então a integral reduz-se a
integral0^1x^2raiz2+x^3,dx

Passo 5

Para calcular integral0^1x^2raiz2+x^3,dx, fazemos a substituição u=2+x^3, logo du=3x^2,dx e x^2,dx=du/3. Quando x=0, u=2; quando x=1, u=3. Assim:
integral0^1x^2raiz2+x^3,dx = 13integral2^3u^1/2,du =13[23u^3/2]2^3 =29l(3^3/2-2^3/2r) =29(3raiz3-2raiz2)

Resposta

29(3raiz3-2raiz2)

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