Ache a integral tripla da função f sobre a região R.
f(x, y, z)=x^2+5 y^2-z e R é o cubo 0 <= x <= 2,-1 <= y <= 1,2 <= z <= 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaR (x^2 + 5y^2 - z),dV, onde R é o paralelepípedo definido por 0<= x<=2, -1<= y<=1 e 2<= z<=3. O conteúdo é integral tripla em coordenadas cartesianas e vamos usar o teorema de Fubini para separar a integração.

Passo 2

Como a função é soma de termos que dependem de variáveis diferentes, podemos dividir a integral em três partes:
integral triplaR x^2 ,dV + 5integral triplaR y^2 ,dV - integral triplaR z ,dV

Passo 3

Para cada parte usamos separação de variáveis. Primeiro,
integral triplaR x^2 ,dV = l(integral0^2 x^2 ,dxr)times l(integral-1^1 dyr)times l(integral2^3 dzr)

Passo 4

Calculando cada integral:
integral0^2 x^2 ,dx = x^33|0^2 = 83,

Passo 5

integral-1^1 dy = 2,

Passo 6

integral2^3 dz = 1

Passo 7

Logo,
integral triplaR x^2 ,dV = 83times 2times 1 = 163

Passo 8

Agora a parte de y^2:
5integral triplaR y^2 ,dV = 5l(integral-1^1 y^2 ,dyr)l(integral0^2 dxr)l(integral2^3 dzr)

Passo 9

Calculando:
integral-1^1 y^2 ,dy = 23,

Passo 10

integral0^2 dx = 2,

Passo 11

integral2^3 dz = 1,

Passo 12

portanto
5integral triplaR y^2 ,dV = 5times 23times 2times 1 = 203

Passo 13

Finalmente a parte de z:
integral triplaR z ,dV = l(integral2^3 z ,dzr)l(integral0^2 dxr)l(integral-1^1 dyr)

Passo 14

integral2^3 z ,dz = z^22|2^3 = 9-42 = 52,

Passo 15

integral0^2 dx = 2,

Passo 16

integral-1^1 dy = 2,

Passo 17

logo
integral triplaR z ,dV = 52times 2times 2 = 10

Passo 18

Somando tudo:
integral triplaR (x^2+5y^2-z),dV = 163 + 203 - 10 = 12 - 10 = 2

Resposta

2

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